Треугольники: полный разбор темы для ОГЭ по математике
Треугольники — одна из ключевых тем ОГЭ по математике. Задачи на треугольники встречаются и в первой, и во второй части экзамена. Чтобы уверенно решать их, нужно разобраться с видами треугольников, признаками равенства и подобия, теоремой Пифагора, основами тригонометрии в прямоугольном треугольнике и формулами площади. В этом разборе мы пройдём каждый подраздел по порядку, разберём типовые задачи уровня ОГЭ и ответим на частые вопросы.
Без карты, без кредитки. Выбери персонажа — учи голосом, побеждай в баттлах.
Виды треугольников и их свойства
Треугольники классифицируют по сторонам и по углам. По сторонам: равносторонний (все стороны равны), равнобедренный (две стороны равны), разносторонний (все стороны разные). По углам: остроугольный (все углы острые), прямоугольный (один угол 90°), тупоугольный (один угол тупой). Сумма углов любого треугольника равна 180°. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а биссектриса, медиана и высота, проведённые к основанию, совпадают. В равностороннем треугольнике все углы по 60°, а все медианы, биссектрисы и высоты равны.
В треугольнике ABC угол A равен 40°, угол B равен 70°. Найдите внешний угол при вершине C.
Сумма углов треугольника 180°, поэтому угол C = 180° - 40° - 70° = 70°. Внешний угол при вершине C равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: 40° + 70° = 110°. Ответ: 110°.
Признаки равенства треугольников
Признаки равенства позволяют доказать, что два треугольника равны, то есть у них равны соответствующие стороны и углы. Первый признак: по двум сторонам и углу между ними. Второй признак: по стороне и двум прилежащим к ней углам. Третий признак: по трём сторонам. Эти признаки часто используются в геометрических задачах ОГЭ для нахождения неизвестных элементов.
Даны два треугольника ABC и DEF. В треугольнике ABC сторона AB = 5 см, сторона AC = 7 см, угол A = 60°. В треугольнике DEF сторона DE = 5 см, сторона DF = 7 см, угол D = 60°. Равны ли треугольники?
Сравним элементы: AB = DE = 5 см, AC = DF = 7 см, угол A = углу D = 60°. Стороны AB и AC образуют угол A, стороны DE и DF образуют угол D. По первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними) треугольники равны. Ответ: да, равны.
Признаки подобия треугольников
Подобные треугольники имеют равные углы и пропорциональные стороны. Первый признак: по двум углам. Второй признак: по двум сторонам и углу между ними. Третий признак: по трём сторонам. Коэффициент подобия k — отношение соответствующих сторон. В задачах ОГЭ подобие часто применяется для нахождения длин отрезков или высот.
В треугольнике ABC проведена прямая DE, параллельная стороне AC, причем D лежит на AB, E на BC. AB = 12 см, DB = 4 см, BC = 18 см. Найдите BE.
Так как DE || AC, то треугольники ABC и DBE подобны по двум углам (угол B общий, угол BDE = углу BAC как соответственные). Коэффициент подобия k = DB/AB = 4/12 = 1/3. Следовательно, BE/BC = k, откуда BE = k * BC = (1/3)*18 = 6 см. Ответ: 6 см.
Теорема Пифагора и тригонометрия в прямоугольном треугольнике
Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (c² = a² + b²). Она применяется для нахождения любой стороны, если известны две другие. Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике: синус (sin) — отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус (cos) — отношение прилежащего катета к гипотенузе, тангенс (tg) — отношение противолежащего катета к прилежащему. Основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1. Эти понятия часто проверяются в ОГЭ в задачах на вычисление элементов треугольника.
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C катет AC = 6 см, гипотенуза AB = 10 см. Найдите sin B, cos B, tg B.
По теореме Пифагора найдём второй катет BC: BC = √(AB² - AC²) = √(100 - 36) = √64 = 8 см. Для угла B: противолежащий катет — AC = 6, прилежащий — BC = 8, гипотенуза — AB = 10. sin B = AC/AB = 6/10 = 0,6; cos B = BC/AB = 8/10 = 0,8; tg B = AC/BC = 6/8 = 0,75. Ответ: sin B=0,6; cos B=0,8; tg B=0,75.
Площадь треугольника: основные формулы
Площадь треугольника можно найти разными способами. Основная формула: S = ½ * a * h, где a — основание, h — высота, проведённая к этому основанию. Для прямоугольного треугольника: S = ½ * a * b, где a и b — катеты. Формула Герона: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)), где p — полупериметр. Также площадь через две стороны и угол между ними: S = ½ * a * b * sin γ. В задачах ОГЭ важно выбрать подходящую формулу в зависимости от данных.
В треугольнике ABC стороны AB = 13 см, BC = 14 см, AC = 15 см. Найдите площадь треугольника.
Найдём полупериметр p = (13+14+15)/2 = 21 см. По формуле Герона: S = √(21*(21-13)*(21-14)*(21-15)) = √(21*8*7*6) = √(21*336) = √7056 = 84 см². Ответ: 84 см².
Частые вопросы
Без карты, без кредитки. Выбери персонажа — учи голосом, побеждай в баттлах.