Как решать текстовые задачи на уравнения в 9 классе
Текстовые задачи на уравнения — один из ключевых разделов ОГЭ по математике. Они проверяют умение переводить условие на язык алгебры, составлять уравнение и решать его. В кодификаторе ФИПИ тема включает задачи на движение, работу, проценты, смеси и сплавы. В этой статье разберём основные типы и покажем, как подходить к решению. Материал подойдёт для самостоятельной подготовки или занятий с репетитором.
Без карты, без кредитки. Выбери персонажа — учи голосом, побеждай в баттлах.
Задачи на движение
В задачах на движение используются формулы: путь = скорость × время. Обычно составляется уравнение, связывающее эти величины. Важно правильно определить, что принимается за неизвестное. Часто удобно обозначить скорость или время, а путь выразить через них. Рассмотрим типичную задачу из ОГЭ.
Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 120 км, выехал велосипедист. Через 30 минут из B в A выехал мотоциклист со скоростью на 20 км/ч больше скорости велосипедиста. Найдите скорость велосипедиста, если они встретились на середине пути.
Шаг 1: Пусть x км/ч — скорость велосипедиста. Тогда скорость мотоциклиста (x+20) км/ч. Шаг 2: До встречи велосипедист проехал 60 км (половина пути), мотоциклист — тоже 60 км. Шаг 3: Время велосипедиста: 60/x часов. Время мотоциклиста: 60/(x+20) часов. Шаг 4: Велосипедист выехал на 30 минут = 0,5 часа раньше, поэтому его время на 0,5 часа больше: 60/x = 60/(x+20) + 0,5. Шаг 5: Умножаем на 2x(x+20): 120(x+20) = 120x + x(x+20). Раскрываем: 120x+2400 = 120x + x^2+20x. После упрощения: x^2+20x-2400=0. Дискриминант: D=400+9600=10000, корни: x=40, x=-60 (не подходит). Ответ: 40 км/ч.
Задачи на работу
В задачах на работу используется формула: работа = производительность × время. Производительность — это работа, выполненная за единицу времени. Если работа не указана, её принимают за 1. Удобно обозначать производительность за x, а затем составлять уравнение, исходя из совместной работы.
Два экскаватора, работая вместе, выкопали котлован за 4 дня. Если бы первый экскаватор работал один, он выполнил бы работу на 6 дней быстрее, чем второй. За сколько дней второй экскаватор может выкопать котлован самостоятельно?
Шаг 1: Пусть второй экскаватор выкопает котлован за x дней. Тогда его производительность 1/x. Первый — за (x-6) дней, производительность 1/(x-6). Шаг 2: Совместная производительность: 1/x + 1/(x-6). Вместе за 4 дня выполняют всю работу: 4*(1/x + 1/(x-6)) = 1. Шаг 3: Уравнение: 4/x + 4/(x-6) = 1. Умножаем на x(x-6): 4(x-6)+4x = x(x-6). Раскрываем: 4x-24+4x = x^2-6x. Приводим: 8x-24 = x^2-6x. Переносим: x^2-14x+24=0. Дискриминант: D=196-96=100, корни: x=12, x=2. x=2 не подходит, так как первый тогда работал бы за -4 дня. Ответ: 12 дней.
Задачи на проценты
Задачи на проценты часто связаны с изменением цены, вкладами или смесями. Ключевой приём — перевести проценты в десятичные дроби и составить уравнение, отражающее изменение величины. Например, увеличение на p% означает умножение на (1 + p/100).
Цена товара сначала повысилась на 20%, затем понизилась на 10% и стала 1080 рублей. Найдите первоначальную цену товара.
Шаг 1: Пусть первоначальная цена x рублей. После повышения на 20%: x * 1,2. После понижения на 10%: (x*1,2) * 0,9 = 1,08x. Шаг 2: По условию 1,08x = 1080. Шаг 3: x = 1080 / 1,08 = 1000. Ответ: 1000 рублей.
Задачи на смеси и сплавы
В задачах на смеси и сплавы обычно известны массы или объёмы компонентов и их концентрации. Составляется уравнение на массу (объём) чистого вещества в смеси. Например, если смешивают два раствора с разными концентрациями, то масса чистого вещества в итоговой смеси равна сумме масс чистого вещества в компонентах.
Смешали 30%-ный раствор кислоты и 10%-ный раствор той же кислоты и получили 600 г 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора взяли?
Шаг 1: Пусть взяли x г 30%-ного раствора, тогда 10%-ного: (600-x) г. Шаг 2: Масса чистой кислоты в первом: 0,3x, во втором: 0,1(600-x), в итоговом: 0,15*600=90. Шаг 3: Уравнение: 0,3x + 0,1(600-x) = 90. Шаг 4: Раскрываем: 0,3x + 60 - 0,1x = 90. Приводим: 0,2x = 30, x = 150. Тогда второго: 600-150=450. Ответ: 150 г 30%-ного и 450 г 10%-ного.
Общий метод решения текстовых задач
Несмотря на разнообразие, алгоритм решения един:
1. Внимательно прочитать условие, выделить величины.
2. Выбрать неизвестное (обычно то, что нужно найти).
3. Выразить остальные величины через неизвестное.
4. Составить уравнение на основе условия (равенство путей, времён, работ, масс и т.д.).
5. Решить уравнение, проверить корни на соответствие смыслу задачи.
6. Записать ответ.
Если задача вызывает затруднение, попробуйте переформулировать её своими словами или нарисовать схему. Также полезно проверить ответ подстановкой.
Частые вопросы
Без карты, без кредитки. Выбери персонажа — учи голосом, побеждай в баттлах.