Окружность и круг: подготовка к ОГЭ по математике
Окружность и круг — одна из ключевых тем ОГЭ по математике, которая встречается как в первой, так и во второй части экзамена. В кодификаторе ФИПИ она включает углы, хорды, касательные, вписанные и описанные окружности, а также формулы длины и площади. Многие школьники испытывают трудности с этой темой из-за большого количества теорем и свойств, которые нужно не просто запомнить, но и уметь применять в нестандартных ситуациях.
В этом материале мы разберём основные понятия, рассмотрим типовые задачи уровня ОГЭ и дадим чёткие алгоритмы решений. Вы узнаете, как связаны центральные и вписанные углы, как находить радиусы вписанной и описанной окружностей, и почему касательная перпендикулярна радиусу. Материал будет полезен как для самостоятельной подготовки, так и для занятий с репетитором.
Если вы ищете не просто теорию, а живого собеседника, который поможет разобрать сложные моменты, обратите внимание на AI-репетитора «Наставник». Он объяснит тему в стиле любого персонажа — от советской училки до кота Барсика — и проведёт по шагам от простого к сложному.
Без карты, без кредитки. Выбери персонажа — учи голосом, побеждай в баттлах.
Центральные и вписанные углы: связь с дугами
Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности. Его градусная мера равна градусной мере дуги, на которую он опирается. Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают её. Он равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, или половине градусной меры дуги.
Следствие: вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Если вписанный угол опирается на диаметр, то он прямой (90°). Это часто используется в задачах.
В окружности с центром O проведены хорда AB и диаметр BC. Найдите угол ABC, если угол AOC равен 120°.
Шаг 1: Определим, какие углы даны. Угол AOC — центральный, опирается на дугу AC. Угол ABC — вписанный, опирается на дугу AC (вершина B на окружности, стороны AB и BC).
Шаг 2: По свойству вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу: ∠ABC = 1/2 ∠AOC = 1/2 * 120° = 60°.
Шаг 3: Ответ: 60°.
Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке E. Найдите угол BED, если дуга AD равна 80°, дуга BC равна 30°.
Шаг 1: Угол BED — угол между пересекающимися хордами. Его величина равна полусумме дуг, заключённых между его сторонами: дуги AD и BC.
Шаг 2: ∠BED = 1/2 (дуга AD + дуга BC) = 1/2 (80° + 30°) = 55°.
Шаг 3: Ответ: 55°.
Касательная к окружности: свойства и признаки
Касательная — прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку. Основное свойство: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Обратно: если прямая перпендикулярна радиусу и проходит через его конец на окружности, то она касательная.
Важно: отрезки касательных, проведённых из одной точки к одной окружности, равны. Это свойство часто используется при решении задач на вписанные окружности.
Из точки A к окружности проведены две касательные, касающиеся её в точках B и C. Найдите AB, если расстояние от A до центра O равно 13 см, а радиус окружности 5 см.
Шаг 1: Сделаем рисунок. Треугольник AOB прямоугольный (радиус OB перпендикулярен касательной AB). AO = 13, OB = 5.
Шаг 2: По теореме Пифагора: AB = √(AO² - OB²) = √(169 - 25) = √144 = 12 см.
Шаг 3: Так как отрезки касательных из одной точки равны, AB = AC = 12 см.
Шаг 4: Ответ: 12 см.
Вписанные и описанные многоугольники
Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на окружности. Окружность при этом называется описанной. Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются окружности. Окружность — вписанная.
Центр описанной окружности треугольника — точка пересечения серединных перпендикуляров. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис. Для квадрата и правильных многоугольников центры совпадают.
Формулы: радиус описанной окружности около треугольника R = abc / (4S); радиус вписанной окружности r = S / p, где p — полупериметр.
В треугольнике ABC стороны равны 13, 14, 15. Найдите радиус вписанной окружности.
Шаг 1: Найдём полупериметр: p = (13+14+15)/2 = 21.
Шаг 2: По формуле Герона площадь: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) = √(21*8*7*6) = √(7056) = 84.
Шаг 3: Радиус вписанной окружности: r = S / p = 84 / 21 = 4.
Шаг 4: Ответ: 4.
Около прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 описана окружность. Найдите её радиус.
Шаг 1: В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, а радиус равен половине гипотенузы.
Шаг 2: Гипотенуза: √(6²+8²) = √(36+64) = √100 = 10.
Шаг 3: Радиус: R = 10/2 = 5.
Шаг 4: Ответ: 5.
Длина окружности и площадь круга
Длина окружности C = 2πR = πD, где R — радиус, D — диаметр. Площадь круга S = πR² = πD²/4. Эти формулы часто комбинируются с другими геометрическими фигурами (сектор, сегмент).
На ОГЭ могут попросить найти длину дуги или площадь сектора: длина дуги l = (πRα)/180°, площадь сектора S = (πR²α)/360°, где α — центральный угол в градусах.
Найдите площадь круга, вписанного в квадрат со стороной 10.
Шаг 1: Вписанный круг касается сторон квадрата, его диаметр равен стороне квадрата: D = 10, R = 5.
Шаг 2: Площадь круга: S = πR² = π*25 = 25π.
Шаг 3: Ответ: 25π.
Длина окружности равна 12π. Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью.
Шаг 1: Из формулы длины окружности: C = 2πR = 12π => R = 6.
Шаг 2: Площадь: S = πR² = π*36 = 36π.
Шаг 3: Ответ: 36π.
Свойства хорд и секущих
Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Свойства: диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам. Равные хорды стягивают равные дуги и находятся на равном расстоянии от центра. Произведение отрезков пересекающихся хорд равны: AE * EB = CE * ED.
Для секущих и касательных: если из одной точки проведены секущая и касательная, то квадрат касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть.
Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке E. AE = 4, EB = 6, CE = 3. Найдите ED.
Шаг 1: По свойству пересекающихся хорд: AE * EB = CE * ED.
Шаг 2: 4 * 6 = 3 * ED => 24 = 3 ED => ED = 8.
Шаг 3: Ответ: 8.
Из точки A к окружности проведена касательная AB (B — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках C и D (C между A и D). AB = 6, AC = 3. Найдите AD.
Шаг 1: По свойству: AB² = AC * AD.
Шаг 2: 6² = 3 * AD => 36 = 3 AD => AD = 12.
Шаг 3: Ответ: 12.
Частые вопросы
Без карты, без кредитки. Выбери персонажа — учи голосом, побеждай в баттлах.