Натуральные числа в ОГЭ по математике: полный разбор

Любое натуральное число можно записать в десятичной системе с помощью цифр от 0 до 9. Каждая позиция цифры называется разрядом: единицы, десятки, сотни, тысячи и так далее. Например, число 3 472: 3 — тысячи, 4 — сотни, 7 — десятки, 2 — единицы. Это важно для понимания операций сложения, вычитания, умножения и деления столбиком.

В ОГЭ могут попросить определить, сколько в числе единиц определённого разряда, или сравнить числа, или выполнить арифметические действия. Также встречаются задания на округление натуральных чисел до заданного разряда. Например, округлить 5 678 до сотен: 5 700 (так как 7 десятков ≥ 5, округляем вверх).

Рассмотрим типовую задачу.

Делимость — ключевое свойство натуральных чисел. Число a делится на число b (b ≠ 0), если существует натуральное число c такое, что a = b × c. Признаки делимости позволяют быстро проверить, делится ли число на 2, 3, 5, 9, 10 и другие без выполнения деления.

Основные признаки делимости:
— на 2: число оканчивается на чётную цифру (0, 2, 4, 6, 8);
— на 3: сумма цифр числа делится на 3;
— на 5: число оканчивается на 0 или 5;
— на 9: сумма цифр числа делится на 9;
— на 10: число оканчивается на 0.

В ОГЭ часто встречаются задания, где нужно определить, какие числа делятся на заданное число, или найти цифру, чтобы число стало делимым. Также могут комбинировать признаки: например, число делится на 6, если делится на 2 и на 3 одновременно.

Разберём пример.

Натуральное число называется простым, если оно имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Составное число имеет более двух делителей. Число 1 не является ни простым, ни составным.

В ОГЭ важно уметь раскладывать составные числа на простые множители. Это основа для нахождения НОД и НОК. Разложение выполняется последовательным делением на простые числа (2, 3, 5, 7, 11, …) до получения 1. Например, разложим 84: 84 ÷ 2 = 42, 42 ÷ 2 = 21, 21 ÷ 3 = 7, 7 ÷ 7 = 1. Итог: 84 = 2² × 3 × 7.

Задачи могут быть прямыми (разложите число) или комбинированными, например, определить, является ли число простым. Также встречаются задания на нахождение всех делителей числа.

Рассмотрим примеры.

Наибольший общий делитель (НОД) двух или более чисел — это наибольшее натуральное число, на которое делятся все данные числа. Наименьшее общее кратное (НОК) — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел.

Стандартный способ нахождения НОД и НОК: разложить числа на простые множители, затем для НОД взять произведение общих простых множителей в наименьшей степени, для НОК — произведение всех простых множителей в наибольшей степени.

В ОГЭ задачи на НОД и НОК могут быть как прямыми (найдите НОД и НОК чисел), так и текстовыми: например, про конфеты, которые нужно разделить поровну, или про автобусы, которые встречаются на остановке. Важно понимать, что в задачах на равномерное деление используется НОД, а на поиск общего кратного — НОК.

Разберём примеры.

При работе с натуральными числами школьники часто допускают ошибки в признаках делимости, путают НОД и НОК, неправильно разлагают на множители. Вот несколько советов.

1. Признак делимости на 3 и 9: не забывайте, что сумма цифр должна делиться на 3 или 9 соответственно. Некоторые ошибочно смотрят на последнюю цифру.
2. Разложение на простые множители: важно делить на простые числа последовательно, начиная с наименьшего. Если число не делится на 2, проверяйте 3, 5, 7 и так далее.
3. НОД и НОК: запомните, что НОД — это наибольшее число, на которое делятся оба числа, а НОК — наименьшее число, которое делится на оба. В текстовых задачах: если нужно разделить поровну — ищем НОД; если нужно найти, когда встретятся — ищем НОК.
4. Округление: если следующая цифра 5 или больше, округляем вверх; если меньше 5 — вниз.

Для закрепления материала полезно решать задачи из сборников ОГЭ и использовать онлайн-тренажёры. Если чувствуете, что тема всё ещё вызывает трудности, можно обратиться к AI-репетитору, например, Наставнику, который поможет разобрать тему в диалоге и подскажет, где ошибка.