Многоугольники: подготовка к ОГЭ по математике
Многоугольники — одна из важных тем геометрии в 9 классе, которая встречается на ОГЭ. В кодификаторе ФИПИ она обозначена кодом math.oge.geom.polygons и включает два подраздела: сумма углов многоугольника и правильные многоугольники. На экзамене по этой теме могут быть как теоретические вопросы (например, найти сумму углов выпуклого многоугольника), так и практические задачи на нахождение углов, сторон или периметра правильных многоугольников.
Чтобы успешно справиться с заданиями, нужно понимать основные формулы и свойства. В этой статье мы разберём ключевые понятия, формулы и решим несколько типичных задач уровня ОГЭ. Материал будет полезен как для самостоятельной подготовки, так и для работы с репетитором.
Если вы чувствуете, что тема даётся тяжело, можно воспользоваться AI-репетитором Наставник, который поможет разобрать каждый шаг решения в интерактивном формате.
Без карты, без кредитки. Выбери персонажа — учи голосом, побеждай в баттлах.
Основные понятия и формулы: сумма углов многоугольника
Многоугольник — это геометрическая фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией. В школьном курсе чаще всего рассматривают выпуклые многоугольники, у которых все внутренние углы меньше 180 градусов.
Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника вычисляется по формуле:
S = 180° (n - 2)
где n — количество сторон (или вершин) многоугольника.
Например:
- Для треугольника (n=3): S = 180° (3-2) = 180°.
- Для четырёхугольника (n=4): S = 180° (4-2) = 360°.
- Для пятиугольника (n=5): S = 180° (5-2) = 540°.
Эта формула очень часто используется в задачах ОГЭ. Важно помнить, что она применима только к выпуклым многоугольникам. Если многоугольник невыпуклый, сумма углов может быть иной, но на ОГЭ такие случаи практически не встречаются.
Также полезно знать, что внешний угол многоугольника — это угол, смежный с внутренним. Сумма внешних углов выпуклого многоугольника (взятых по одному при каждой вершине) всегда равна 360°, независимо от числа сторон.
Найдите сумму углов выпуклого восьмиугольника.
Шаг 1: Определяем количество сторон n = 8.
Шаг 2: Применяем формулу суммы углов: S = 180° (n - 2) = 180° (8 - 2) = 180° * 6 = 1080°.
Ответ: 1080°.
Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его внутренних углов равна 1260°?
Шаг 1: Используем формулу S = 180° (n - 2). Подставляем S = 1260°.
Шаг 2: 1260 = 180 (n - 2).
Шаг 3: Делим обе части на 180: 7 = n - 2.
Шаг 4: Отсюда n = 9.
Ответ: 9 сторон.
Правильные многоугольники: свойства и формулы
Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Примерами правильных многоугольников являются равносторонний треугольник, квадрат, правильный пятиугольник и т.д.
Основные формулы для правильного n-угольника:
- Внутренний угол: α = (180° (n - 2)) / n
- Внешний угол: β = 360° / n
- Сумма внутренних углов: S = 180° (n - 2) (та же, что и для любого выпуклого многоугольника)
- Периметр: P = n * a, где a — длина стороны.
На ОГЭ часто просят найти внутренний или внешний угол правильного многоугольника, а также количество сторон по известному углу.
Найдите внутренний угол правильного десятиугольника.
Шаг 1: n = 10.
Шаг 2: Внутренний угол α = (180° (10 - 2)) / 10 = (180° * 8) / 10 = 1440° / 10 = 144°.
Ответ: 144°.
Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если его внешний угол равен 30°?
Шаг 1: Внешний угол β = 360° / n. По условию β = 30°.
Шаг 2: 30 = 360 / n.
Шаг 3: n = 360 / 30 = 12.
Ответ: 12 сторон.
Решение типовых задач ОГЭ на многоугольники
Рассмотрим несколько задач, которые могут встретиться на экзамене. Они проверяют умение применять формулы суммы углов и свойства правильных многоугольников.
Сумма углов выпуклого многоугольника равна 1800°. Найдите количество сторон этого многоугольника.
Шаг 1: S = 180° (n - 2) = 1800°.
Шаг 2: 1800 = 180 (n - 2).
Шаг 3: Делим на 180: 10 = n - 2.
Шаг 4: n = 12.
Ответ: 12 сторон.
В правильном многоугольнике внутренний угол равен 150°. Сколько сторон у этого многоугольника?
Шаг 1: Внутренний угол α = (180° (n - 2)) / n = 150°.
Шаг 2: 150n = 180 (n - 2).
Шаг 3: 150n = 180n - 360.
Шаг 4: Переносим: 360 = 30n.
Шаг 5: n = 12.
Ответ: 12 сторон.
Найдите периметр правильного пятиугольника, если его сторона равна 4 см.
Шаг 1: У правильного пятиугольника 5 равных сторон.
Шаг 2: P = 5 * a = 5 * 4 = 20 см.
Ответ: 20 см.
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Здесь собраны ответы на вопросы, которые чаще всего возникают у школьников при изучении темы многоугольников.
Частые вопросы
Без карты, без кредитки. Выбери персонажа — учи голосом, побеждай в баттлах.