Линейная функция и её график: подготовка к ОГЭ по математике
Линейная функция — одна из базовых тем алгебры, которая встречается в ОГЭ как в первой, так и во второй части. В кодификаторе ФИПИ она обозначена кодом math.oge.func.linear и включает изучение формулы y = kx + b, её графика и углового коэффициента.
На экзамене могут попросить найти значение функции по графику, определить знаки коэффициентов k и b, или установить соответствие между формулой и графиком. Разберёмся с теорией и закрепим на примерах.
Без карты, без кредитки. Выбери персонажа — учи голосом, побеждай в баттлах.
Что такое линейная функция y = kx + b
Линейной функцией называется функция вида y = kx + b, где k и b — некоторые числа. Графиком линейной функции является прямая линия. Коэффициент k называется угловым коэффициентом и показывает, насколько круто идёт прямая: если k > 0, функция возрастает, если k < 0 — убывает. Коэффициент b соответствует точке пересечения графика с осью Oy (ординат).
Примеры: y = 2x + 3 (k=2, b=3), y = -x + 1 (k=-1, b=1), y = 4x (k=4, b=0). Если b=0, прямая проходит через начало координат. Если k=0, функция превращается в постоянную y = b — прямую, параллельную оси Ox.
Дана функция y = -3x + 6. Найдите её угловой коэффициент и точку пересечения с осью Oy.
Угловой коэффициент k = -3. Точка пересечения с осью Oy: при x=0 y = -3*0 + 6 = 6, то есть (0;6).
График линейной функции: как построить и прочитать
Для построения графика линейной функции достаточно двух точек. Выбираем любые значения x, подставляем в формулу, находим y, отмечаем точки на координатной плоскости и проводим через них прямую. Удобно брать x=0 (тогда y=b) и x=1 (тогда y=k+b).
Важно уметь «читать» график: по графику определять k и b. Знак k виден по наклону: если прямая идёт вверх слева направо — k>0, вниз — k<0. Значение b — это ордината точки пересечения с осью Oy. Также по графику можно найти значение функции при заданном x и наоборот.
Постройте график функции y = 0.5x - 2. Определите, проходит ли он через точку A(4;0).
1. Найдём две точки: при x=0: y=-2 -> точка (0;-2); при x=2: y=0.5*2-2=1-2=-1 -> точка (2;-1).
2. Отмечаем точки и проводим прямую.
3. Проверяем точку A: подставляем x=4 в формулу: y=0.5*4-2=2-2=0. Получили y=0, значит точка A(4;0) лежит на графике.
Угловой коэффициент k: что означает и как влияет на график
Угловой коэффициент k определяет угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox. Чем больше |k|, тем круче прямая. Если k=1, прямая составляет 45° с осью Ox. Если k=0 — прямая горизонтальна. Если k>0 — угол острый, функция возрастает; если k<0 — угол тупой, функция убывает.
В задачах ОГЭ часто просят сравнить угловые коэффициенты по графикам: у какой прямой больше k. Для этого смотрят на крутизну подъёма или спуска. Также может быть задание на соответствие: даны три графика и три формулы, нужно сопоставить.
На рисунке изображены графики трёх линейных функций: y = 2x, y = -x, y = 0.5x. Определите, какой график соответствует какой функции.
1. График, идущий вверх круче других: k=2 (самый большой положительный).
2. График, идущий вниз: k=-1 (отрицательный).
3. График, идущий вверх полого: k=0.5 (положительный, но меньше 2).
Таким образом, y=2x — самая крутая возрастающая, y=-x — убывающая, y=0.5x — пологая возрастающая.
Коэффициент b: точка пересечения с осью Oy
Коэффициент b — это значение y при x=0, то есть точка пересечения графика с осью ординат. Если b>0, прямая пересекает ось Oy выше начала координат; если b<0 — ниже. В задачах ОГЭ часто нужно по графику определить b или, наоборот, по b и k выбрать правильный график.
Пример: y = 2x - 3 пересекает ось Oy в точке (0;-3). Если b=0, прямая проходит через начало координат (прямая пропорциональность).
График функции y = kx + b пересекает оси координат в точках (0;4) и (2;0). Найдите k и b.
Из точки (0;4) следует, что b=4. Подставляем точку (2;0) в уравнение: 0 = k*2 + 4, откуда 2k = -4, k = -2. Ответ: k=-2, b=4.
Типовые задания ОГЭ по линейной функции
В первой части ОГЭ встречаются задания на установление соответствия между графиками и формулами, на определение знаков k и b по графику, на вычисление значения функции по графику. Во второй части может быть задача на построение графика или на использование линейной функции в текстовой задаче.
Рассмотрим реальный пример из демоверсии ОГЭ: даны четыре графика и четыре формулы (y=2x+3, y=-2x+3, y=2x-3, y=-2x-3). Нужно соотнести. Решение: смотрим на наклон (k) и на пересечение с Oy (b).
Установите соответствие между графиками функций и формулами: 1) y= -3x, 2) y=3x, 3) y= -3x+2. Графики: А — прямая через начало координат, идёт вниз; Б — прямая, идущая вверх, пересекает Oy в точке (0;2); В — прямая, идущая вниз, пересекает Oy в точке (0;2).
График А: проходит через (0;0) и убывает -> k<0, b=0 -> формула 1 (y=-3x).
График Б: возрастает, b=2 -> k>0, b=2 -> формула 2 (y=3x) не подходит (b=0), проверяем: y=3x+? нет, b=2 только в формуле 3? Но формула 3 имеет k=-3, а график возрастает. Значит, Б соответствует y=3x? Но b=0, а график пересекает Oy в 2. Ошибка: на самом деле график Б — y=3x+2? В условии такой формулы нет. Тогда пересмотр: возможно, график Б — y=3x (b=0) но тогда он должен проходить через (0;0). Если он не проходит, то это неверно. В реальном задании формулы подбираются так, что соответствие однозначно. Приведём корректный пример: даны y=2x+1, y=-2x+1, y=2x-1. Графики: A — возрастает, пересекает Oy в 1; Б — убывает, пересекает Oy в 1; В — возрастает, пересекает Oy в -1. Тогда A->y=2x+1, Б->y=-2x+1, В->y=2x-1.
Часто задаваемые вопросы о линейной функции
Здесь собраны вопросы, которые часто задают школьники и родители при подготовке к ОГЭ. Если после изучения материала остались неясности, можно обратиться к AI-репетитору Наставник, который поможет разобрать тему в диалоге с персонажем, например, с профессором или школьником-олимпиадником.
Частые вопросы
Без карты, без кредитки. Выбери персонажа — учи голосом, побеждай в баттлах.