Квадратичная функция: подготовка к ОГЭ по математике

Квадратичная функция имеет вид y = ax² + bx + c, где a, b, c — числа, причём a ≠ 0. Графиком является парабола.

Коэффициент a определяет направление ветвей:
- Если a > 0, ветви направлены вверх.
- Если a < 0, ветви направлены вниз.

Коэффициент c отвечает за пересечение с осью Oy: точка (0; c).

Вершина параболы — точка, где функция достигает минимума (при a > 0) или максимума (при a < 0). Координаты вершины вычисляются по формулам:
x₀ = -b/(2a), y₀ = y(x₀) = a·x₀² + b·x₀ + c.

Ось симметрии параболы — прямая x = x₀, проходящая через вершину.

Нули функции — это значения x, при которых y = 0. Для их нахождения решают квадратное уравнение ax² + bx + c = 0. Если дискриминант D = b² - 4ac > 0, то два нуля; если D = 0 — один нуль (вершина лежит на оси Ox); если D < 0 — нулей нет (парабола не пересекает ось Ox).

Нахождение вершины — базовая операция. Рассмотрим пример.

Пример 1. Дана функция y = 2x² - 8x + 6. Найдите координаты вершины и определите направление ветвей.

Решение:
1. Определяем a = 2, b = -8, c = 6.
2. a > 0 → ветви вверх.
3. x₀ = -b/(2a) = -(-8)/(2·2) = 8/4 = 2.
4. y₀ = 2·2² - 8·2 + 6 = 8 - 16 + 6 = -2.
5. Вершина: (2; -2).

Ответ: ветви вверх, вершина (2; -2).

Обратите внимание: если a < 0, ветви вниз, и вершина — точка максимума.

Нули функции — это точки пересечения параболы с осью Ox. Для их нахождения решаем уравнение ax² + bx + c = 0.

Алгоритм:
1. Вычислить дискриминант D = b² - 4ac.
2. Если D > 0: два корня x₁ = (-b + √D)/(2a), x₂ = (-b - √D)/(2a).
3. Если D = 0: один корень x = -b/(2a) (вершина на оси Ox).
4. Если D < 0: нулей нет.

Пример 2. Найдите нули функции y = x² - 5x + 4.

Решение:
1. a = 1, b = -5, c = 4.
2. D = (-5)² - 4·1·4 = 25 - 16 = 9 > 0.
3. x₁ = (5 + 3)/(2·1) = 8/2 = 4.
x₂ = (5 - 3)/2 = 2/2 = 1.
Ответ: нули функции: x = 1 и x = 4.

Если D < 0, парабола не пересекает ось Ox. Например, y = x² + 2x + 3: D = 4 - 12 = -8 < 0, нулей нет.

Чтобы построить график квадратичной функции, нужно:
1. Найти вершину (x₀, y₀).
2. Определить направление ветвей.
3. Найти нули функции (если есть).
4. Найти точку пересечения с Oy: (0; c).
5. Взять несколько дополнительных точек, симметричных относительно оси x = x₀.
6. Построить параболу по точкам.

Пример 3. Постройте график функции y = x² - 4x + 3.

Решение:
1. a = 1 > 0 → ветви вверх.
2. x₀ = -(-4)/(2·1) = 4/2 = 2.
y₀ = 2² - 4·2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1. Вершина (2; -1).
3. Нули: x² - 4x + 3 = 0 → D = 16 - 12 = 4, x₁ = (4+2)/2 = 3, x₂ = (4-2)/2 = 1.
4. Пересечение с Oy: (0; 3).
5. Дополнительные точки: x = 4 → y = 16 - 16 + 3 = 3 (симметрична (0;3) относительно x=2). x = 5 → y = 25 - 20 + 3 = 8.
6. Строим параболу через точки (1;0), (2;-1), (3;0), (0;3), (4;3), (5;8).

График готов. На ОГЭ часто просят указать промежутки возрастания/убывания: функция убывает на (-∞; 2], возрастает на [2; +∞).

В ОГЭ встречаются задания, где нужно по графику определить знаки коэффициентов или найти значение функции. Рассмотрим пример.

Пример 4. На рисунке изображён график функции y = ax² + bx + c. Определите знаки a, b и c.

(Предположим, ветви вниз, вершина слева от оси Oy, пересечение с Oy выше нуля.)

Решение:
- Ветви вниз → a < 0.
- Вершина слева от Oy → x₀ = -b/(2a) < 0. Так как a < 0, то -b/(2a) < 0 означает, что -b > 0 (поскольку знаменатель отрицательный), следовательно, b < 0.
- Пересечение с Oy выше нуля → c > 0.

Ответ: a < 0, b < 0, c > 0.

Если вы хотите потренироваться в решении таких задач с пошаговыми подсказками, попробуйте Наставника AI. Он объяснит каждое действие и не даст готового ответа, пока вы не попробуете сами.