ОГЭ · Математика

Координатная прямая на ОГЭ: разбор темы с примерами

Q: Как решать уравнения с модулем на координатной прямой?

Уравнение |x - a| = b означает, что расстояние от точки x до точки a равно b. Решения: x = a + b или x = a - b. Например, |x - 2| = 3 даёт x = 5 или x = -1.

Q: Можно ли использовать координатную прямую для сравнения дробей?

Да, отметьте дроби на прямой: чем правее точка, тем больше число. Это особенно полезно для отрицательных дробей, где визуализация помогает избежать ошибок.

Q: Как подготовиться к задачам на координатную прямую на ОГЭ?

Повторите определение модуля, формулу расстояния, тренируйтесь отмечать точки и находить координаты. Решайте типовые задания из открытого банка ФИПИ. Если нужна дополнительная помощь, можно воспользоваться AI-репетитором, например, Наставником, который разберёт тему в интерактивном формате.

Координатная прямая — одна из базовых тем ОГЭ по математике, которая встречается как в первой, так и во второй части экзамена. Понимание принципов расположения точек, вычисления расстояний и работы с модулем необходимо для решения многих задач. В этой статье разберём ключевые понятия, типовые задания и распространённые ошибки. Материал подойдёт для самостоятельной подготовки: вы сможете повторить теорию, разобрать примеры и проверить себя.

🧑‍🏫

Разберём эту тему вместе

Без карты, без кредитки. Выбери персонажа — учи голосом, побеждай в баттлах.

3 урока бесплатно Демо без регистрации

Что такое координатная прямая и как находить координаты точек

Координатная прямая — это прямая, на которой выбрано начало отсчёта (точка O), единичный отрезок и положительное направление. Каждой точке на прямой соответствует единственное число — её координата. Например, точка A с координатой 3 находится на расстоянии 3 единичных отрезков от начала в положительном направлении. Координаты точек могут быть целыми, дробными или отрицательными. На ОГЭ часто встречаются задачи, где нужно определить координату точки по рисунку или отметить точку по заданной координате. Важно уметь работать с дробными координатами и понимать, что точка с большей координатой лежит правее (если положительное направление вправо).

Пример 1

Условие.

На координатной прямой отмечены точки A, B, C. Координата A равна -2,5, координата B равна 1,2, координата C равна 4. Какая из точек расположена левее всех?

Решение.

Левее всех расположена точка с наименьшей координатой. Сравним: -2,5 < 1,2 < 4. Значит, точка A левее всех.
Ответ: A.

Пример 2

Условие.

Отметьте на координатной прямой точку с координатой -3/4. Какое целое число находится между -3/4 и 0?

Решение.

Переведём -3/4 в десятичную дробь: -0,75. На координатной прямой между -0,75 и 0 находятся целые числа? Нет, единственное целое число, которое больше -0,75 и меньше 0 — это 0? Нет, 0 не меньше 0. Между -0,75 и 0 нет целых чисел, так как ближайшее целое слева -1 (но -1 < -0,75), а справа 0. Целых чисел между ними нет.
Ответ: нет целых чисел.

Расстояние между точками на координатной прямой

Расстояние между двумя точками на координатной прямой равно модулю разности их координат. Если точки A(x1) и B(x2), то AB = |x2 - x1|. Это свойство используется для нахождения длины отрезка, определения середины отрезка и решения задач на движение вдоль прямой. Важно помнить, что расстояние всегда неотрицательно. Например, расстояние между точками -5 и 3 равно |3 - (-5)| = |8| = 8. На ОГЭ часто просят найти расстояние между точками по рисунку или по заданным координатам.

Пример 1

Условие.

На координатной прямой отмечены точки M(-7) и N(2). Найдите расстояние между ними.

Решение.

Расстояние MN = |2 - (-7)| = |2 + 7| = 9.
Ответ: 9.

Пример 2

Условие.

Точка A имеет координату -3, точка B — координату 5. Найдите координату точки C, которая является серединой отрезка AB.

Решение.

Координата середины отрезка равна среднему арифметическому координат концов: C = (x_A + x_B)/2 = (-3 + 5)/2 = 2/2 = 1.
Ответ: 1.

Модуль числа и его геометрический смысл

Модуль числа a (обозначается |a|) — это расстояние от точки с координатой a до начала отсчёта. Геометрически модуль — это расстояние, поэтому он всегда неотрицателен. Свойства модуля: |a| ≥ 0, |a| = a при a ≥ 0, |a| = -a при a < 0. На ОГЭ задачи с модулем часто требуют сравнения чисел, решения простых уравнений вида |x| = a или нахождения значений выражений с модулем. Также модуль используется при записи расстояния между точками.

Пример 1

Условие.

Сравните числа: |-7| и -|5|.

Решение.

|-7| = 7, -|5| = -5. Так как 7 > -5, то |-7| > -|5|.
Ответ: |-7| > -|5|.

Пример 2

Условие.

Найдите все целые числа, для которых |x| < 3.

Решение.

Неравенство |x| < 3 означает, что расстояние от x до 0 меньше 3. Целые числа, удовлетворяющие этому: -2, -1, 0, 1, 2.
Ответ: -2, -1, 0, 1, 2.

Типовые задачи ОГЭ на координатную прямую

На экзамене встречаются задания на определение координат точек по рисунку, нахождение расстояний, сравнение чисел с помощью координатной прямой, а также задачи, где нужно использовать модуль. Часто требуется установить соответствие между точками и их координатами, или определить, какая из точек находится левее/правее. Вторая часть может включать более сложные задачи, например, на нахождение координаты точки, если известно расстояние до другой точки. Рассмотрим несколько примеров уровня ОГЭ.

Пример 1

Условие.

На координатной прямой отмечены точки A, B, C, D. Координаты: A = -1,5; B = 0,5; C = 2; D = -0,5. Установите соответствие между точками и их координатами: 1) -1,5; 2) 0,5; 3) 2; 4) -0,5.

Решение.

Сравним координаты: -1,5 < -0,5 < 0,5 < 2. Значит, слева направо: A (-1,5), D (-0,5), B (0,5), C (2). Соответствие: A-1, B-2, C-3, D-4.
Ответ: A-1, B-2, C-3, D-4.

Пример 2

Условие.

Известно, что точка A имеет координату -3, а точка B — координату 7. Найдите координату точки C, которая находится на расстоянии 4 от точки A и расположена правее A.

Решение.

Точка C правее A, значит её координата больше -3. Расстояние AC = 4, поэтому |x_C - (-3)| = 4, то есть x_C + 3 = 4 (так как x_C > -3). Отсюда x_C = 1.
Ответ: 1.

Часто задаваемые вопросы по теме

Частые вопросы

Как найти расстояние между точками на координатной прямой, если координаты отрицательные?

Расстояние всегда равно модулю разности координат: |x2 - x1|. Например, расстояние между -5 и -2 равно |-2 - (-5)| = |3| = 3. Неважно, какие знаки, главное — вычислить разность и взять модуль.

Что такое модуль числа и как он связан с координатной прямой?

Модуль числа — это расстояние от точки с этой координатой до начала отсчёта. Например, |3| = 3, потому что точка 3 находится на расстоянии 3 от 0. Модуль всегда неотрицателен.

Как определить, какая из двух точек на прямой лежит левее?

Левее лежит точка с меньшей координатой. Например, -2 левее, чем 1, потому что -2 < 1. Если числа дробные, сравнивайте их как обычные числа.

Как решать уравнения с модулем на координатной прямой?

Уравнение |x - a| = b означает, что расстояние от точки x до точки a равно b. Решения: x = a + b или x = a - b. Например, |x - 2| = 3 даёт x = 5 или x = -1.

Можно ли использовать координатную прямую для сравнения дробей?

Да, отметьте дроби на прямой: чем правее точка, тем больше число. Это особенно полезно для отрицательных дробей, где визуализация помогает избежать ошибок.

Как подготовиться к задачам на координатную прямую на ОГЭ?

Повторите определение модуля, формулу расстояния, тренируйтесь отмечать точки и находить координаты. Решайте типовые задания из открытого банка ФИПИ. Если нужна дополнительная помощь, можно воспользоваться AI-репетитором, например, Наставником, который разберёт тему в интерактивном формате.

🧑‍🏫

Разберём эту тему вместе

Без карты, без кредитки. Выбери персонажа — учи голосом, побеждай в баттлах.

3 урока бесплатно Демо без регистрации