Геометрическая прогрессия: как сдать ОГЭ без репетитора

На экзамене по этой теме три типа заданий.

Первый — найти n-й член прогрессии по известным данным. Обычно дают первый член b1 и знаменатель q, просят b5 или b10. Тут просто: bn = b1 * q^(n-1). Запомни эту формулу — она база.

Второй — сумма первых n членов. Формула: Sn = b1 * (q^n - 1) / (q - 1), если q ≠ 1. Иногда дают прогрессию, где q = 1 — тогда сумма просто n*b1. На ОГЭ любят подставлять q = 2 или 1/2, чтобы считать было удобно.

Третий — бесконечно убывающая прогрессия. Это когда |q| < 1. Тогда сумма всех членов S = b1 / (1 - q). Задание обычно звучит как "найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если b1 = 4, q = 1/2". Ответ: 8.

Ещё могут дать задачу на "найти знаменатель" или "найти первый член" — это обратные задачи. Но логика та же: подставляешь известное в формулу и решаешь уравнение.

Шорткат 1: Если нужно найти сумму первых n членов, а q = 2 или q = 1/2, считай в уме. Например, b1 = 3, q = 2, n = 5. S5 = 3 * (32 - 1) / (2 - 1) = 3 * 31 = 93. Потренируйся — сэкономишь минуты.

Шорткат 2: В бесконечно убывающей прогрессии, если q = 1/2, сумма = 2*b1. Если q = 1/3, сумма = 1.5*b1. Запомни эти частные случаи — они часто всплывают.

Шорткат 3: Когда даны два члена прогрессии (например, b3 = 12, b5 = 48) и просят найти b1 и q, составь систему: b1*q^2 = 12, b1*q^4 = 48. Раздели второе на первое: q^2 = 4, значит q = 2 или q = -2. Отрицательный q тоже бывает, но на ОГЭ обычно положительный. Потом b1 = 12 / q^2 = 12 / 4 = 3. Всё.

Самая частая ошибка — путают формулу n-го члена и суммы. Запомни: в n-м члене степень (n-1), в сумме степень n. Ещё забывают про q ≠ 1 в формуле суммы. Если q = 1, сумма = n*b1 — это просто.

Вторая ошибка — знаки. Если q отрицательный, члены прогрессии прыгают: то положительный, то отрицательный. Например, b1 = 2, q = -3: b2 = -6, b3 = 18. При суммировании будь внимателен.

Третья — в бесконечно убывающей прогрессии забывают проверить условие |q| < 1. Если q = 2, сумма не существует. На ОГЭ могут дать q = -0.5 — это тоже убывающая (по модулю меньше 1).

Как избежать? Решай 2-3 задачи каждого типа перед экзаменом. И используй проверку: подставь найденные значения обратно в условие.

Разберём задачу: "Геометрическая прогрессия задана условием bn = 2 * 3^(n-1). Найдите сумму первых 5 её членов."

Шаг 1: Определяем b1 и q. Из формулы bn = b1 * q^(n-1) видно: b1 = 2, q = 3.

Шаг 2: Используем формулу суммы: S5 = b1 * (q^5 - 1) / (q - 1) = 2 * (3^5 - 1) / (3 - 1).

Шаг 3: Считаем 3^5 = 243. Тогда S5 = 2 * (243 - 1) / 2 = 2 * 242 / 2 = 242.

Ответ: 242.

Если бы попросили b7, то b7 = 2 * 3^6 = 2 * 729 = 1458.

Наставник AI — это не скучный учебник, а живые персонажи, которые объясняют так, как тебе понятно. Выбираешь персонажа, говоришь голосом задачу, и он отвечает голосом. Например:

- Витёк (гопник с района): "Слышь, братан, геометрическая прогрессия — это когда каждый следующий член умножается на одно и то же число. Короче, если b1 = 2, q = 3, то b2 = 6, b3 = 18. Запомнил?"

- Анна Сергеевна (советская училка): "Юноша, извольте выучить формулу n-го члена. Без неё вы как без рук. Повторяйте: b_n = b_1 * q^(n-1)."

- Криштиану Роналду: "Как на тренировке: формула — это твой дриблинг. Чем больше повторяешь, тем лучше результат. Давай, сделай 10 повторений задачи."

Ты можешь прислать фото задачи — камера распознает, и персонаж разберёт её голосом. Плюс система подсказок: если тупишь, тебе не дадут готовый ответ, а наведут на мысль. Как в игре: сначала делаю я (I-do), потом мы вместе (We-do), потом ты сам (You-do).

Геймификация: XP, уровни, стрики. Если решаешь каждый день, получаешь бонусы. Можно баттлиться с другом: кто быстрее и точнее решит квиз по теме.

И цена: 995 рублей в месяц за все 12 предметов. Это как одна пицца. Против репетитора за 2000 в час — разница колоссальная.

Репетитор по математике в Москве — 2000-3000 рублей за час. За месяц выходит 8-12 тысяч. А Наставник AI — 995 рублей за месяц, и ты можешь заниматься хоть каждый день по 30 минут. Все 12 предметов: математика, русский, физика, химия, английский и т.д.

Плюс ты не привязан ко времени: открыл приложение на телефоне, сфоткал задачу, получил объяснение. Учитель не узнает — никто не палится. Можно в школе на перемене или дома вечером.

Семейный кабинет: родитель видит отчёты, сколько ты решил, какие темы пройдены. Оплата через ЮKassa, безопасно.