Функция y = k/x: обратная пропорциональность и гипербола
Функция y = k/x — одна из ключевых тем в курсе алгебры 9 класса, которая регулярно встречается в заданиях ОГЭ. На первый взгляд она кажется простой, но на экзамене часто возникают ошибки из-за невнимательности к знаку коэффициента k и к области определения. В этом разборе мы спокойно и подробно разберем, что такое обратная пропорциональность, как выглядит гипербола, какие у нее свойства и как решать типовые задачи. Материал построен так, чтобы вы могли уверенно отвечать на вопросы и не терять баллы.
Без карты, без кредитки. Выбери персонажа — учи голосом, побеждай в баттлах.
Определение обратной пропорциональности и гиперболы
Обратная пропорциональность — это зависимость, при которой произведение двух величин постоянно. В математике её записывают формулой y = k/x, где k — некоторое ненулевое число, называемое коэффициентом обратной пропорциональности. Графиком этой функции является гипербола — кривая, состоящая из двух ветвей. Важно запомнить: переменная x не может быть равна нулю, так как на ноль делить нельзя. Поэтому область определения функции — все числа, кроме нуля. Область значений — тоже все числа, кроме нуля, потому что y никогда не равен нулю (числитель k не равен нулю). Гипербола симметрична относительно начала координат: если точка (a; b) принадлежит графику, то точка (-a; -b) тоже принадлежит. Это свойство нечетности функции: y(-x) = -y(x).
Свойства функции y = k/x в зависимости от знака k
Поведение гиперболы сильно зависит от знака коэффициента k. Если k > 0, ветви гиперболы расположены в первой и третьей координатных четвертях (I и III). Функция убывает на каждом из промежутков (-∞; 0) и (0; +∞). Например, при k = 2, при увеличении x от 1 до 10 значение y уменьшается от 2 до 0,2. Если k < 0, ветви находятся во второй и четвертой четвертях (II и IV). Функция возрастает на каждом промежутке: при увеличении x значение y увеличивается (отрицательные числа становятся ближе к нулю). Эти различия важно помнить при построении и анализе графиков. Также стоит отметить, что чем больше |k|, тем дальше от начала координат расположены ветви гиперболы.
Определите знак коэффициента k, если график функции y = k/x проходит через точку A(2; -3).
Подставим координаты точки в уравнение: -3 = k/2. Умножаем обе части на 2: k = -6. Так как k < 0, ветви гиперболы расположены во II и IV четвертях.
Построение графика гиперболы: пошаговый алгоритм
Чтобы построить график функции y = k/x, нужно выполнить несколько шагов. Сначала определите знак k и выберите несколько значений x (как положительных, так и отрицательных), не забывая, что x ≠ 0. Удобно брать x = ±1, ±2, ±4, ±8 и т.д. Вычислите соответствующие y. Затем отметьте точки на координатной плоскости и соедините их плавными кривыми — двумя ветвями. Помните, что ветви не пересекают оси координат, а только приближаются к ним (асимптотически). Оси x и y являются асимптотами гиперболы. Для более точного построения можно использовать свойство симметрии: если точка (x; y) принадлежит графику, то точка (-x; -y) тоже принадлежит.
Постройте график функции y = 4/x.
1. k = 4 > 0, ветви в I и III четвертях. 2. Составим таблицу значений: x = -8 → y = -0,5; x = -4 → y = -1; x = -2 → y = -2; x = -1 → y = -4; x = 1 → y = 4; x = 2 → y = 2; x = 4 → y = 1; x = 8 → y = 0,5. 3. Отмечаем точки: (-8; -0,5), (-4; -1), (-2; -2), (-1; -4), (1; 4), (2; 2), (4; 1), (8; 0,5). 4. Соединяем их плавными линиями, не пересекая оси. Получаем две ветви гиперболы.
Типовые задачи ОГЭ на функцию y = k/x
На ОГЭ часто встречаются задания, где нужно найти значение k по графику, определить принадлежность точки графику, или сравнить значения функции. Важно уметь работать с формулой и свойствами. Рассмотрим несколько примеров.
График функции y = k/x проходит через точку M(3; 5). Найдите k и определите, проходит ли график через точку N(-3; -5).
Подставим M: 5 = k/3 → k = 15. Функция имеет вид y = 15/x. Проверим N: при x = -3, y = 15/(-3) = -5. Точка N принадлежит графику, так как выполняется равенство.
На рисунке изображена гипербола y = k/x. Одна из ее ветвей проходит через точку (2; 1). Найдите k и определите, в каких четвертях расположены ветви.
Подставляем (2; 1): 1 = k/2 → k = 2. Так как k > 0, ветви в I и III четвертях. Ответ: k = 2, I и III четверти.
Функция y = k/x задана таблицей: x = -2, y = 1; x = -1, y = 2; x = 1, y = -2; x = 2, y = -1. Найдите k и постройте график.
Из любой точки, например (-2; 1): 1 = k/(-2) → k = -2. Функция y = -2/x. Ветви во II и IV четвертях. Строим по точкам: (-2;1), (-1;2), (1;-2), (2;-1) и симметричные им.
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Частые вопросы
Без карты, без кредитки. Выбери персонажа — учи голосом, побеждай в баттлах.