Декартова система координат: подготовка к ОГЭ по математике
Декартова система координат — одна из ключевых тем ОГЭ по математике. Она встречается в заданиях первой части (например, найти координаты точки, расстояние между точками) и в задачах второй части, где требуется составить уравнение прямой или окружности. В этой статье мы разберём основные понятия, формулы и типовые задачи, чтобы вы чувствовали себя уверенно на экзамене.
Тема входит в кодификатор ФИПИ с кодом math.oge.coord.plane. Она охватывает точки, расстояние между ними, середину отрезка, а также уравнения прямой и окружности. Мы пройдём каждый элемент по порядку, с примерами и пояснениями.
Если вы готовитесь к ОГЭ самостоятельно или с репетитором, систематическое изучение этой темы поможет набрать баллы. А если хотите проверить свои знания в интерактивном формате, попробуйте Наставника AI — он разберёт любую задачу голосом любимого персонажа и подскажет, если вы ошиблись.
Без карты, без кредитки. Выбери персонажа — учи голосом, побеждай в баттлах.
Основные понятия: координаты точки, расстояние и середина отрезка
Декартова система координат на плоскости задаётся двумя перпендикулярными осями: Ox (горизонтальная) и Oy (вертикальная). Точка A имеет координаты (x; y), где x — абсцисса, y — ордината.
Расстояние между двумя точками A(x1; y1) и B(x2; y2) вычисляется по формуле: d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²). Это следствие теоремы Пифагора.
Середина отрезка AB — точка M с координатами: M = ((x1 + x2)/2; (y1 + y2)/2). Важно запомнить: координаты середины есть среднее арифметическое соответствующих координат концов.
Эти формулы — база для решения многих задач ОГЭ. Например, найти длину медианы, проверить, лежит ли точка на прямой, или определить, является ли треугольник равнобедренным.
Найдите расстояние между точками A(2; -3) и B(-1; 1).
Шаг 1: Выписываем координаты: x1 = 2, y1 = -3; x2 = -1, y2 = 1.
Шаг 2: Подставляем в формулу расстояния: d = √((-1 - 2)² + (1 - (-3))²) = √((-3)² + (4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
Ответ: 5.
Даны точки A(3; 5) и B(7; -1). Найдите координаты середины отрезка AB.
Шаг 1: Используем формулу середины отрезка: x = (3 + 7)/2 = 10/2 = 5; y = (5 + (-1))/2 = 4/2 = 2.
Ответ: M(5; 2).
Уравнение прямой на плоскости: общий вид и частные случаи
Уравнение прямой в декартовой системе координат можно записать в виде y = kx + b, где k — угловой коэффициент (тангенс угла наклона), b — смещение по оси Oy. Для ОГЭ важно уметь составлять уравнение прямой по двум точкам и по графику.
Если прямая параллельна оси Ox, её уравнение y = const (k = 0). Если параллельна оси Oy, то x = const (такая прямая не является функцией, но её уравнение записывается как x = a).
Чтобы найти уравнение прямой через две точки A(x1; y1) и B(x2; y2), решают систему: y1 = kx1 + b, y2 = kx2 + b. Вычитая, получают k = (y2 - y1)/(x2 - x1). Затем подставляют k в любое уравнение для нахождения b.
Запишите уравнение прямой, проходящей через точки A(1; 2) и B(3; 6).
Шаг 1: Находим угловой коэффициент: k = (6 - 2)/(3 - 1) = 4/2 = 2.
Шаг 2: Подставляем точку A в уравнение y = 2x + b: 2 = 2*1 + b => b = 0.
Ответ: y = 2x.
Уравнение окружности: центр и радиус
Уравнение окружности с центром в точке C(x0; y0) и радиусом R имеет вид: (x - x0)² + (y - y0)² = R². Если центр в начале координат, уравнение упрощается до x² + y² = R².
В задачах ОГЭ окружность может быть задана общим уравнением второй степени. Требуется выделить полный квадрат, чтобы найти центр и радиус. Например, x² + y² + 6x - 4y - 3 = 0 преобразуется к (x+3)² + (y-2)² = 16, откуда центр (-3; 2), радиус 4.
Также важно уметь определять взаимное расположение точек и окружности: точка лежит на окружности, если её координаты удовлетворяют уравнению; внутри — если левая часть меньше R²; снаружи — если больше.
Окружность задана уравнением (x - 2)² + (y + 1)² = 25. Найдите её центр и радиус. Определите, лежит ли точка A(5; 3) на этой окружности.
Шаг 1: Из уравнения: x0 = 2, y0 = -1, R² = 25 => R = 5. Центр C(2; -1).
Шаг 2: Проверяем точку A: (5-2)² + (3+1)² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = R². Значит, точка лежит на окружности.
Ответ: центр (2; -1), радиус 5, точка A принадлежит окружности.
Типовые задачи ОГЭ: координатная плоскость
На экзамене часто встречаются задания, где нужно найти координаты точки пересечения прямых, длину отрезка, или проверить, принадлежит ли точка фигуре. Рассмотрим несколько примеров из реальных вариантов ОГЭ.
Задача 1. Точки A(1; 4), B(5; 2), C(3; -2) — вершины треугольника. Найдите длину медианы, проведённой из вершины A.
Задача 2. Прямая задана уравнением y = -2x + 5. Найдите координаты точек её пересечения с осями координат.
Задача 3. Окружность проходит через точку A(2; 3) и имеет центр в точке C(0; 1). Напишите уравнение этой окружности.
Точки A(1; 4), B(5; 2), C(3; -2) — вершины треугольника. Найдите длину медианы, проведённой из вершины A.
Шаг 1: Находим середину стороны BC — точку M. B(5;2), C(3;-2): x = (5+3)/2 = 4, y = (2+(-2))/2 = 0. M(4;0).
Шаг 2: Медиана — отрезок AM. Расстояние между A(1;4) и M(4;0): d = √((4-1)² + (0-4)²) = √(3² + (-4)²) = √(9+16) = √25 = 5.
Ответ: длина медианы равна 5.
Прямая задана уравнением y = -2x + 5. Найдите координаты точек её пересечения с осями координат.
Шаг 1: Пересечение с осью Ox (y=0): 0 = -2x + 5 => 2x = 5 => x = 2.5. Точка (2.5; 0).
Шаг 2: Пересечение с осью Oy (x=0): y = -2*0 + 5 = 5. Точка (0; 5).
Ответ: (2.5; 0) и (0; 5).
Окружность проходит через точку A(2; 3) и имеет центр в точке C(0; 1). Напишите уравнение этой окружности.
Шаг 1: Находим радиус как расстояние от центра до точки A: R = √((2-0)² + (3-1)²) = √(4 + 4) = √8 = 2√2.
Шаг 2: Уравнение окружности: (x - 0)² + (y - 1)² = (2√2)² => x² + (y - 1)² = 8.
Ответ: x² + (y - 1)² = 8.
Как эффективно подготовиться: советы и лайфхаки
Чтобы уверенно решать задачи по декартовой системе координат на ОГЭ, нужно:
- выучить формулы расстояния, середины отрезка, уравнений прямой и окружности;
- научиться быстро подставлять числа и избегать арифметических ошибок;
- решать задачи из открытого банка ФИПИ и тренироваться на время.
Полезно также разобрать типичные ошибки: путаница в знаках при вычитании координат, неправильное выделение полного квадрата в уравнении окружности, неверное определение углового коэффициента.
Если вы хотите более глубоко проработать тему с индивидуальным подходом, попробуйте Наставника AI. Это интерактивный репетитор, который объяснит материал голосом любого из 15 персонажей — от строгой учительницы до весёлого кота. Он поможет вам пройти тему шаг за шагом, задаст наводящие вопросы и не даст готовый ответ, пока вы не решите сами. А ещё можно устроить баттл с друзьями и заработать XP.
Частые вопросы
Без карты, без кредитки. Выбери персонажа — учи голосом, побеждай в баттлах.