Как сдать арифметическую прогрессию на ОГЭ: дешёвые лайфхаки и разбор заданий
Арифметическая прогрессия — это просто последовательность чисел, где каждый следующий член больше предыдущего на одно и то же число. На ОГЭ по математике эта тема встречается в двух типах заданий: найти n-й член или сумму первых n членов. Звучит скучно, но есть лайфхаки, которые сэкономят тебе кучу времени. И да, репетитор не нужен — можно разобраться самому или с Наставником AI за 995 рублей в месяц. Давай по фактам.
На экзамене проверяют не умение зубрить формулы, а понимание, как их применить в конкретной задаче. Чаще всего дают последовательность чисел или условие в тексте — нужно найти разность, член или сумму. Бывают задачи на логику: "сколько членов прогрессии удовлетворяют условию?". Но база — это две формулы: an = a1 + d*(n-1) и Sn = (2a1 + d*(n-1))/2 * n. Запомни их, и 90% задач решены.
В этой статье — конкретные шорткаты, типичные ошибки и пример разбора задачи уровня ОГЭ. А в конце — как Наставник AI с персонажами вроде Витька или Криштиану поможет тебе сдать без напряга.
Без карты, без кредитки. Выбери персонажа — учи голосом, побеждай в баттлах.
Что реально проверяют на ОГЭ по арифметической прогрессии
В кодификаторе ФИПИ тема называется "Формула n-го члена, сумма первых n членов". На практике это три типа заданий:
1. Найти n-й член прогрессии, если известны первый член и разность. Обычно дают a1 и d, просят a7 или a10. Просто подставляешь в формулу.
2. Найти сумму первых n членов. Дают a1, d и n. Используешь формулу суммы. Иногда дают a1 и a7, а сумму надо найти — тогда сначала найди d.
3. Задача на логику: "сколько членов прогрессии меньше/больше числа?" или "при каком n сумма равна...". Тут нужно составить неравенство или уравнение.
В ОГЭ обычно одна задача по прогрессии — номер 12 или 14. Она стоит 1 балл. Не заваливай её из-за невнимательности.
Дана арифметическая прогрессия: 3, 7, 11, ... Найдите её 12-й член.
a1 = 3, d = 7-3 = 4. n = 12.
a12 = a1 + d*(12-1) = 3 + 4*11 = 3 + 44 = 47.
Ответ: 47.
Найдите сумму первых 15 членов арифметической прогрессии, если a1 = 2, d = 3.
n = 15, a1 = 2, d = 3.
S15 = (2*a1 + d*(15-1))/2 * 15 = (2*2 + 3*14)/2 * 15 = (4 + 42)/2 * 15 = 46/2 * 15 = 23 * 15 = 345.
Ответ: 345.
Топ-3 шортката, которые экономят время на экзамене
Шорткат 1: Если даны два любых члена прогрессии, разность d = (am - ak) / (m - k). Например, a5 = 10, a9 = 22. Тогда d = (22-10)/(9-5) = 12/4 = 3. Не нужно выписывать всю последовательность.
Шорткат 2: Сумму первых n членов можно найти как среднее арифметическое первого и последнего, умноженное на n: Sn = (a1 + an)/2 * n. Это быстрее, если известен n-й член.
Шорткат 3: Если нужно найти количество членов, удовлетворяющих условию (например, an < 100), составь неравенство a1 + d*(n-1) < 100 и реши его относительно n. Не забудь, что n — натуральное число.
Где обычно сливаются и как этого избежать
Ошибка 1: Путают номер члена. Например, просят a7, а подставляют n=6. В формуле an = a1 + d*(n-1) именно n-1. Если n=7, то (7-1)=6. Запомни: первый член — это n=1, так что для седьмого нужно d умножить на 6.
Ошибка 2: Неправильно находят разность, если даны не соседние члены. Часто школьники вычитают номера неправильно. Используй шорткат 1.
Ошибка 3: В суммах забывают разделить на 2. Формула Sn = (2a1 + d*(n-1))/2 * n. Многие сначала умножают на n, а потом забывают делить. Лучше сначала вычисли числитель, потом раздели на 2, потом умножь на n.
Как избежать: на черновике выписывай a1, d, n. Проверяй, что n — это количество членов, а не номер. И всегда делай проверку: подставь найденное значение обратно.
Конкретный пример разбора задачи уровня ОГЭ с полным решением
Задача: Арифметическая прогрессия задана условием a1 = 5, d = -2. Найдите сумму всех положительных членов этой прогрессии.
Решение:
1. Выпишем несколько членов: 5, 3, 1, -1, ... Положительные: 5, 3, 1. Их сумма = 9.
2. Но это не гарантия, что дальше нет положительных. Нужно найти, при каком n член станет отрицательным.
3. Составим неравенство: an > 0. an = a1 + d*(n-1) = 5 + (-2)*(n-1) = 5 - 2n + 2 = 7 - 2n > 0 => 7 > 2n => n < 3.5. Так как n — натуральное, n <= 3.
4. Значит, положительных членов 3: a1=5, a2=3, a3=1.
5. Сумма: S3 = (2*5 + (-2)*(3-1))/2 * 3 = (10 -4)/2 * 3 = 6/2 * 3 = 3*3 = 9.
Ответ: 9.
Как с этим помогает Наставник AI
Наставник AI — это не скучный репетитор за 2000 рублей в час. Ты выбираешь персонажа, который объяснит тему так, как тебе понятно. Хочешь — Витёк с района разжуёт "по-братски": "Слышь, тут формула простая: an равно a1 плюс d на n минус один. Запомнил? Погнали дальше." Хочешь — Анна Сергеевна по-советски: "Итак, запишем в тетрадь: а энное равно а первое плюс дэ на эн минус один. Повтори." Или Криштиану Роналду: "Как на тренировке: шаг за шагом. Первый член, разность — и ты забиваешь гол."
Ты говоришь голосом, а персонаж отвечает голосом. Если застрял на задаче — сфоткай её, и он разберёт её с тобой по шагам, не сливая ответ. Метод I-do/We-do/You-do: сначала показывает, потом делаете вместе, потом ты сам. И всё это с геймификацией: XP, уровни, ачивки. Скучно не будет.
А ещё есть баттлы с друзьями: кто быстрее и точнее решит квиз по теме. И тетрадь с конспектом, который можно сохранить в PDF.
Цена: 995 рублей в месяц за все 12 предметов
Репетитор по математике берёт 2000 рублей за час. Одно занятие — и деньги кончились. А Наставник AI стоит 995 рублей в месяц — это как одна пицца. За эти деньги ты получаешь 30 уроков по любому из 12 предметов: математика, русский, физика, химия, биология, история, обществознание, английский, литература, география, информатика, геометрия. Все темы по кодификаторам ФИПИ.
Есть бесплатный тариф: 1 урок и баттлы. Стандарт — 995 рублей. Премиум — 2495 рублей, где можно клонировать голос родителя или кумира. Элит — 4995 рублей, безлимит. Сейчас скидка 50% на старте — фиксируется навсегда. То есть ты платишь 497 рублей в месяц за Стандарт. Это дешевле, чем проезд на метро.
Попробуй бесплатно: три урока без привязки карты. Просто зайди на nastavnik-ai.ru и выбери персонажа.
Частые вопросы
Без карты, без кредитки. Выбери персонажа — учи голосом, побеждай в баттлах.