Как решать арифметическую прогрессию на ОГЭ: полное руководство
Арифметическая прогрессия — одна из ключевых тем ОГЭ по математике. В заданиях часто требуется найти n-й член или сумму первых членов, а также применить эти знания в текстовых задачах. В этом разборе мы спокойно и последовательно разберем все необходимые формулы, покажем на реальных примерах, как их применять, и ответим на вопросы, которые чаще всего возникают у девятиклассников.
Тема входит в кодификатор ФИПИ под кодом math.oge.seq.arith, и на экзамене может встретиться как в первой части (тестовые задания), так и во второй (задачи с развернутым ответом). Важно не просто заучить формулы, а научиться видеть, когда и какую из них использовать.
Мы будем двигаться от простого к сложному: начнем с определения и разности, затем перейдем к формуле n-го члена, потом к сумме, и закончим комбинированными задачами. Готовьте тетрадь и ручку — будем решать вместе.
Без карты, без кредитки. Выбери персонажа — учи голосом, побеждай в баттлах.
Что такое арифметическая прогрессия: основные понятия
Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа. Это постоянное число называется разностью прогрессии и обозначается буквой d.
Например, последовательность 3, 7, 11, 15, ... — арифметическая прогрессия, потому что каждый следующий член больше предыдущего на 4 (d = 4). Если разность отрицательная, прогрессия убывает: 10, 7, 4, 1, ... (d = -3).
Обозначения: первый член — a1, n-й член — an, разность — d. Для описания прогрессии достаточно знать a1 и d, тогда можно найти любой член.
Важно: в задачах ОГЭ часто дают не a1 и d, а, например, a5 и a7, и просят найти a1 или d. Нужно уметь составлять уравнения.
Последовательность (an) задана условиями: a1 = 5, an+1 = an + 3. Найдите a10.
Шаг 1. Определяем разность: из условия an+1 = an + 3 видно, что d = 3.
Шаг 2. Используем формулу n-го члена: an = a1 + (n-1)d.
Шаг 3. Подставляем n=10, a1=5, d=3: a10 = 5 + (10-1)*3 = 5 + 27 = 32.
Ответ: 32.
Дана арифметическая прогрессия: 12, 9, 6, ... Найдите её разность и запишите формулу n-го члена.
Шаг 1. Разность d = a2 - a1 = 9 - 12 = -3 (прогрессия убывающая).
Шаг 2. Формула n-го члена: an = a1 + (n-1)d = 12 + (n-1)*(-3) = 12 - 3(n-1) = 15 - 3n.
Ответ: d = -3, an = 15 - 3n.
Формула n-го члена арифметической прогрессии
Формула an = a1 + (n-1)d — это основа основ. Она позволяет найти любой член прогрессии, если известны первый член и разность. На ОГЭ часто дают значения двух членов, не указывая a1 и d, и просят найти, например, a15. В таких случаях нужно сначала составить систему уравнений, чтобы найти a1 и d, а затем подставить в формулу.
Также встречаются задачи, где нужно проверить, является ли число членом прогрессии. Для этого подставляют число в формулу an и решают уравнение относительно n. Если n — натуральное число, то является.
В арифметической прогрессии (an) известно, что a5 = 14, a9 = 26. Найдите a1 и d, а также a15.
Шаг 1. Записываем формулы для a5 и a9: a5 = a1 + 4d = 14; a9 = a1 + 8d = 26.
Шаг 2. Вычитаем из второго уравнения первое: (a1+8d) - (a1+4d) = 26-14 => 4d = 12 => d = 3.
Шаг 3. Подставляем d в первое уравнение: a1 + 4*3 = 14 => a1 = 2.
Шаг 4. Находим a15: a15 = a1 + 14d = 2 + 14*3 = 2 + 42 = 44.
Ответ: a1=2, d=3, a15=44.
Является ли число 47 членом арифметической прогрессии 5, 8, 11, ...?
Шаг 1. Находим a1=5, d=8-5=3. Формула: an = 5 + (n-1)*3 = 3n + 2.
Шаг 2. Приравниваем к 47: 3n + 2 = 47 => 3n = 45 => n = 15.
Шаг 3. n=15 — натуральное число, значит, 47 является 15-м членом прогрессии.
Ответ: да.
Сумма первых n членов арифметической прогрессии
Сумма первых n членов обозначается Sn и вычисляется по одной из двух формул: Sn = (a1 + an)*n / 2 или Sn = (2a1 + (n-1)d)*n / 2. Первая формула удобна, если известен n-й член, вторая — если известны a1 и d.
На ОГЭ часто просят найти сумму нескольких членов, начиная с первого, или сумму членов с какого-то номера. В последнем случае можно найти сумму первых N членов и вычесть сумму первых (k-1) членов.
Также бывают задачи, где дана сумма и нужно найти количество членов — тогда решается квадратное уравнение.
Найдите сумму первых 12 членов арифметической прогрессии, если a1 = 3, d = 2.
Шаг 1. Находим a12: a12 = a1 + 11d = 3 + 22 = 25.
Шаг 2. Используем формулу суммы: S12 = (a1 + a12)*12 / 2 = (3+25)*6 = 28*6 = 168.
Ответ: 168.
Дана арифметическая прогрессия: -10, -7, -4, ... Найдите сумму всех её членов с 5-го по 10-й включительно.
Шаг 1. Находим a1=-10, d=3. Сначала найдём a5 и a10: a5 = -10 + 4*3 = -10+12=2; a10 = -10 + 9*3 = -10+27=17.
Шаг 2. Сумма с 5-го по 10-й — это сумма первых 10 минус сумма первых 4. Но проще: количество членов = 6 (5,6,7,8,9,10). Используем формулу суммы для арифметической прогрессии: S = (a5 + a10)*6 / 2 = (2+17)*3 = 19*3 = 57.
Ответ: 57.
Решение текстовых задач на арифметическую прогрессию
На ОГЭ арифметическая прогрессия часто встречается в текстовых задачах, например, про бурение скважины, про поездку, про накопление денег. Важно перевести условие на язык прогрессии: определить, что является первым членом, какая разность, что нужно найти.
Например, если в задаче говорится, что за первый час сделали 5 деталей, а за каждый следующий на 2 больше, то это прогрессия с a1=5, d=2. Если спрашивают, сколько сделали за 8 часов, то это сумма первых 8 членов.
Иногда дана сумма и нужно найти количество членов — тогда используем формулу суммы и решаем уравнение.
За первый день турист прошел 10 км, а за каждый следующий день он проходил на 2 км больше, чем за предыдущий. Сколько километров турист прошел за 7 дней?
Шаг 1. Это арифметическая прогрессия: a1=10, d=2, n=7. Нужно найти S7.
Шаг 2. Находим a7: a7 = 10 + 6*2 = 22.
Шаг 3. Сумма: S7 = (10+22)*7/2 = 32*7/2 = 112.
Ответ: 112 км.
За изготовление первой детали рабочий получает 50 рублей, а за каждую следующую — на 10 рублей больше, чем за предыдущую. Сколько деталей он изготовил, если всего получил 420 рублей?
Шаг 1. Прогрессия: a1=50, d=10, Sn=420. Найти n.
Шаг 2. Формула суммы: Sn = (2a1 + (n-1)d)*n/2 = (2*50 + (n-1)*10)*n/2 = (100 + 10n -10)*n/2 = (90+10n)*n/2 = (45+5n)*n = 5n^2+45n.
Шаг 3. Приравниваем: 5n^2+45n=420 => делим на 5: n^2+9n-84=0.
Шаг 4. Решаем квадратное уравнение: D=81+336=417. n = (-9+√417)/2 ≈ (-9+20.42)/2 ≈ 5.71. Так как n должно быть натуральным, проверяем n=5: S5 = (2*50+4*10)*5/2 = (100+40)*2.5 = 140*2.5=350; n=6: S6 = (100+50)*6/2=150*3=450. 420 не получается, возможно, опечатка в условии? Но по решению n не целое. Однако в реальных задачах ОГЭ n всегда целое. Проверим: если n=6, сумма 450, если n=5, 350. 420 не равно. Значит, в условии ошибка? Но мы решаем по алгоритму. В данном случае ответ: n=6? Нет, 450≠420. Возможно, я ошибся в формуле: Sn = (2a1 + (n-1)d)*n/2. Для n=5: (100+40)*5/2=140*2.5=350; n=6: (100+50)*6/2=150*3=450. 420 между ними. Но так как n целое, задача некорректна. В реальном ОГЭ таких не бывает. Поэтому лучше привести другой пример.
Заменим условие: пусть всего получил 450 рублей. Тогда n=6. Решение: шаги те же, уравнение 5n^2+45n=450 => n^2+9n-90=0 => D=81+360=441 => n=6 (n=-15 не подходит). Ответ: 6 деталей.
Часто задаваемые вопросы об арифметической прогрессии
В этом разделе собраны вопросы, которые действительно ищут школьники и родители. Если вы готовитесь к ОГЭ, обратите на них внимание.
Частые вопросы
Без карты, без кредитки. Выбери персонажа — учи голосом, побеждай в баттлах.