Как решать задачи на движение и работу в ЕГЭ по математике
Задачи на движение и работу — один из самых распространённых типов текстовых задач в 9 номере ЕГЭ по математике. Они проверяют умение составлять и решать уравнения на основе реальных ситуаций. Многие ученики боятся этих задач из-за обилия переменных и необходимости переводить условия на язык математики. Но на самом деле всё сводится к нескольким простым алгоритмам.
В этой статье разберём основные типы задач на движение и работу, покажем пошаговые решения реальных примеров из ЕГЭ и дадим советы, как не запутаться в формулах. Материал подойдёт как для 10-11 классов, так и для самостоятельной подготовки к экзамену.
Без карты, без кредитки. Выбери персонажа — учи голосом, побеждай в баттлах.
Основные формулы и подходы к решению задач на движение
В задачах на движение обычно фигурируют три величины: скорость (v), время (t) и расстояние (S). Связь между ними: S = v * t. Если объекты движутся навстречу друг другу, их скорости складываются (скорость сближения). Если в одну сторону — скорости вычитаются (скорость удаления).
В задачах на движение по реке добавляется скорость течения: скорость по течению равна собственной скорости плюс скорость течения, против течения — минус.
Важно правильно обозначить неизвестные и составить уравнение. Обычно за x берут скорость или время. Ключевой момент — условие равенства расстояний или времени.
В задачах на работу используется аналогичная формула: A = p * t, где A — работа, p — производительность (работа в единицу времени), t — время. Если работают вместе, производительности складываются. Если один выполняет работу быстрее другого, его производительность больше.
Часто в задачах на работу общий объём работы принимают за 1. Тогда производительность — это часть работы, выполненная за единицу времени.
Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 120 км, выехал автомобиль. Через 30 минут из B в A выехал второй автомобиль со скоростью на 10 км/ч больше, чем первый. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на середине пути.
Пусть x км/ч — скорость первого автомобиля. Тогда скорость второго — (x+10) км/ч. Время первого до встречи: 60/x (половина пути 60 км). Время второго: 60/(x+10). Первый ехал на 0,5 часа дольше, поэтому: 60/x - 60/(x+10) = 0,5. Умножим на 2x(x+10): 120(x+10) - 120x = x(x+10) => 1200 = x^2 + 10x => x^2 + 10x - 1200 = 0. Дискриминант: 100+4800=4900, x=(-10+70)/2=30. Ответ: 30 км/ч.
Моторная лодка прошла против течения реки 120 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения равна 2 км/ч.
Пусть v км/ч — скорость лодки в стоячей воде. Тогда скорость по течению: v+2, против: v-2. Время против: 120/(v-2), по течению: 120/(v+2). Разность: 120/(v-2) - 120/(v+2) = 2. Умножим на (v-2)(v+2): 120(v+2) - 120(v-2) = 2(v^2-4) => 480 = 2v^2 - 8 => 2v^2 = 488 => v^2 = 244 => v = √244 = 2√61 ≈ 15,62. Ответ: 2√61 км/ч.
Задачи на движение по кругу и средней скорости
Иногда в ЕГЭ встречаются задачи на движение по замкнутой трассе (кругу). Здесь важно понимать, что при движении в одном направлении скорость сближения равна разности скоростей, а при движении навстречу — сумме. Если два объекта стартуют из одной точки, то время до первой встречи (при движении в одном направлении) равно длине круга, делённой на разность скоростей.
Средняя скорость на всём пути не равна среднему арифметическому скоростей. Она вычисляется как общее расстояние, делённое на общее время. Если участки пути разные, нужно считать отдельно.
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одной точки круговой трассы длиной 400 м. Скорость первого 8 км/ч, второго 6 км/ч. Через сколько минут первый бегун обгонит второго на круг?
Переведём скорости в м/мин: 8 км/ч = 8000/60 ≈ 133,33 м/мин, 6 км/ч = 6000/60 = 100 м/мин. Скорость сближения (разность) = 33,33 м/мин. Чтобы обогнать на круг (400 м), нужно время: 400 / 33,33 ≈ 12 мин. Ответ: через 12 минут.
Первую половину пути автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую — со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость на всём пути.
Пусть весь путь равен 2S. Время на первой половине: S/60, на второй: S/40. Общее время: S/60 + S/40 = (2S+3S)/120 = 5S/120 = S/24. Средняя скорость: 2S / (S/24) = 48 км/ч. Ответ: 48 км/ч.
Задачи на работу: совместная и поочерёдная работа
В задачах на работу часто нужно найти время, за которое каждый из рабочих выполнит задание, или их совместную производительность. Если работа выполняется поочерёдно, важно учесть, сколько времени каждый работал.
Пример: первый рабочий делает работу за 10 часов, второй — за 15. Вместе они сделают за 1/(1/10+1/15) = 6 часов. Если один работал часть времени, а потом подключился другой, составляем уравнение: часть работы, выполненная первым, плюс часть второго равна 1.
Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. Первый рабочий, работая один, выполняет эту работу на 10 дней быстрее, чем второй. За сколько дней каждый из них, работая отдельно, выполнит эту работу?
Пусть второй выполняет работу за x дней, тогда первый за x-10 дней. Производительность первого: 1/(x-10), второго: 1/x. Вместе: 1/(x-10) + 1/x = 1/12. Умножим на 12x(x-10): 12x + 12(x-10) = x(x-10) => 24x - 120 = x^2 - 10x => x^2 - 34x + 120 = 0. Дискриминант: 1156 - 480 = 676, x = (34+26)/2=30 или (34-26)/2=4 (не подходит, т.к. x>10). Значит, второй за 30 дней, первый за 20. Ответ: первый за 20 дней, второй за 30.
Труба наполняет бассейн за 6 часов, а вторая — за 8 часов. Сначала открыли первую трубу, а через 2 часа — вторую. Через сколько часов после открытия второй трубы бассейн наполнится?
Производительность первой: 1/6, второй: 1/8. За 2 часа первая наполнила 2/6 = 1/3 бассейна. Осталось 2/3. Совместная производительность: 1/6+1/8 = 7/24. Время: (2/3) / (7/24) = (2/3)*(24/7) = 16/7 ≈ 2,2857 ч. Ответ: 16/7 часа.
Как избежать типичных ошибок в задачах на движение и работу
Самая частая ошибка — неправильное составление уравнения. Внимательно читайте условие: что сравнивается? Время, расстояние или работа? Не забывайте переводить единицы измерения (часы в минуты, км/ч в м/с). В задачах на движение по реке путают, когда скорость складывается, а когда вычитается. Запомните: по течению — быстрее, против — медленнее.
В задачах на работу часто забывают, что общий объём работы можно принять за 1. Если в условии сказано, что один делает работу на несколько часов быстрее, то его время меньше, а производительность больше.
Проверяйте ответ на правдоподобность: скорость не может быть отрицательной, время — положительным. Если получили дробное значение, не пугайтесь, в ЕГЭ ответом может быть дробь.
Рекомендуем после решения подставлять найденные значения в условие и проверять, выполняется ли равенство. Это поможет избежать арифметических ошибок.
Если чувствуете, что тема даётся тяжело, попробуйте разобрать её с AI-репетитором. Например, в Наставнике можно выбрать персонажа, который объяснит задачу в стиле, понятном именно вам. Это помогает взглянуть на задачу с другой стороны и запомнить алгоритм.
Примеры задач из реальных вариантов ЕГЭ
Рассмотрим ещё несколько задач, которые встречались в ЕГЭ прошлых лет. Они помогут понять, как формулируются задания и какие хитрости могут быть.
Из пункта A в пункт B выехал велосипедист. Через 40 минут из пункта B в пункт A выехал мотоциклист со скоростью на 30 км/ч больше, чем скорость велосипедиста. Найдите скорость велосипедиста, если расстояние между пунктами 90 км и они встретились на расстоянии 30 км от пункта B.
Пусть v км/ч — скорость велосипедиста. Тогда скорость мотоциклиста v+30 км/ч. Велосипедист проехал до встречи 90-30=60 км, мотоциклист — 30 км. Время велосипедиста: 60/v, мотоциклиста: 30/(v+30). Разность времени: 60/v - 30/(v+30) = 40/60 = 2/3. Умножим на 3v(v+30): 180(v+30) - 90v = 2v(v+30) => 180v+5400-90v = 2v^2+60v => 90v+5400 = 2v^2+60v => 2v^2 -30v -5400=0 => v^2 -15v -2700=0. Дискриминант: 225+10800=11025, v=(15+105)/2=60 (отрицательный корень отбрасываем). Ответ: 60 км/ч.
Первая труба пропускает на 4 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 480 литров она заполняет на 8 минут дольше, чем вторая?
Пусть x л/мин — производительность первой трубы. Тогда второй — x+4 л/мин. Время первой: 480/x, второй: 480/(x+4). Разность: 480/x - 480/(x+4) = 8. Умножим на x(x+4): 480(x+4) - 480x = 8x(x+4) => 1920 = 8x^2+32x => 8x^2+32x-1920=0 => x^2+4x-240=0. Дискриминант: 16+960=976, x=(-4+√976)/2 = (-4+4√61)/2 = 2√61-2 ≈ 13,62 (отрицательный корень отбрасываем). Ответ: 2√61-2 л/мин.
Частые вопросы
Без карты, без кредитки. Выбери персонажа — учи голосом, побеждай в баттлах.