Треугольники в ЕГЭ по математике: полный разбор темы
Треугольники — одна из ключевых тем планиметрии, которая встречается в ЕГЭ как в первой, так и во второй части. Уверенное владение теоремами синусов и косинусов, формулами площади и свойствами вписанных и описанных окружностей позволяет решать задачи любой сложности.
В этом разборе мы последовательно пройдём по всем подтемам, разберём типичные ошибки и покажем, как применять теорию на практике. Материал ориентирован на учеников 10-11 классов, которые готовятся к профильному ЕГЭ.
Начнём с базовых понятий и постепенно перейдём к задачам высокого уровня.
Без карты, без кредитки. Выбери персонажа — учи голосом, побеждай в баттлах.
Теорема синусов и теорема косинусов
Теорема синусов связывает стороны треугольника с синусами противолежащих углов: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R, где R — радиус описанной окружности. Она незаменима, когда известны два угла и одна сторона или две стороны и угол, не лежащий между ними.
Теорема косинусов обобщает теорему Пифагора на произвольные треугольники: c² = a² + b² - 2ab cos C. Она применяется, когда известны две стороны и угол между ними или три стороны. Важно помнить, что косинус тупого угла отрицателен, поэтому знак перед слагаемым нужно контролировать.
На ЕГЭ часто требуется комбинировать обе теоремы. Например, найти сторону треугольника по двум сторонам и углу, а затем по теореме синусов найти другой угол. Рассмотрим пример.
В треугольнике ABC сторона AB = 7, сторона BC = 8, угол B = 120°. Найдите сторону AC.
Шаг 1: Запишем теорему косинусов для стороны AC: AC² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos B.
Шаг 2: Подставим значения: AC² = 7² + 8² - 2·7·8·cos 120°.
Шаг 3: cos 120° = -1/2, поэтому -2·7·8·(-1/2) = +56. Вычислим: AC² = 49 + 64 + 56 = 169.
Шаг 4: AC = √169 = 13.
Ответ: 13.
В треугольнике ABC сторона AC = 10, угол A = 30°, угол B = 45°. Найдите сторону BC.
Шаг 1: Найдём угол C: C = 180° - 30° - 45° = 105°.
Шаг 2: По теореме синусов: BC/sin A = AC/sin B = AB/sin C. Нам нужна BC: BC = (AC·sin A)/sin B.
Шаг 3: sin 30° = 1/2, sin 45° = √2/2. Тогда BC = (10·1/2) / (√2/2) = (5) / (√2/2) = 5·(2/√2) = 10/√2 = 5√2.
Ответ: 5√2.
Площадь треугольника: основные формулы
Площадь треугольника можно найти несколькими способами. Базовая формула: S = ½ a·h_a, где h_a — высота, проведённая к стороне a. Чаще используют формулу через две стороны и угол между ними: S = ½ ab sin C.
Для равностороннего треугольника удобна формула S = a²√3/4. Если известны три стороны, применяют формулу Герона: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)), где p — полупериметр. Также площадь связана с радиусами вписанной (r) и описанной (R) окружностей: S = pr = abc/(4R).
На ЕГЭ часто дают треугольник, в котором нужно найти площадь, а затем использовать её для нахождения радиуса вписанной окружности или высоты. Разберём задачу.
В треугольнике ABC стороны AB = 13, BC = 14, AC = 15. Найдите площадь треугольника и радиус вписанной окружности.
Шаг 1: Найдём полупериметр p = (13+14+15)/2 = 21.
Шаг 2: По формуле Герона: S = √(21·(21-13)·(21-14)·(21-15)) = √(21·8·7·6) = √(7056) = 84.
Шаг 3: Радиус вписанной окружности r = S/p = 84/21 = 4.
Ответ: S = 84, r = 4.
В треугольнике ABC сторона AC = 8, угол B = 60°, а прилежащие стороны AB = 5, BC = 7. Найдите площадь треугольника.
Шаг 1: Заметим, что угол B лежит между сторонами AB и BC. Используем формулу S = ½·AB·BC·sin B.
Шаг 2: sin 60° = √3/2. Тогда S = ½·5·7·(√3/2) = (35√3)/4.
Ответ: (35√3)/4.
Вписанная и описанная окружности треугольника
Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника. Радиус вписанной окружности r = S/p. Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров. Радиус описанной окружности R = abc/(4S) или R = a/(2 sin A).
Важно помнить: в прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, а радиус равен половине гипотенузы. В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане, проведённой к основанию.
Задачи на вписанные и описанные окружности часто комбинируются с теоремой синусов и формулами площади. Рассмотрим пример.
В треугольнике ABC сторона AB = 10, сторона AC = 12, сторона BC = 14. Найдите радиус описанной окружности.
Шаг 1: Найдём площадь по формуле Герона. p = (10+12+14)/2 = 18. S = √(18·8·6·4) = √(3456) = 24√6.
Шаг 2: Используем формулу R = abc/(4S). R = (10·12·14)/(4·24√6) = (1680)/(96√6) = 17.5/√6 = (35√6)/12.
Ответ: (35√6)/12.
В прямоугольном треугольнике катеты равны 6 и 8. Найдите радиус вписанной окружности.
Шаг 1: Гипотенуза c = √(6²+8²) = 10.
Шаг 2: Площадь S = ½·6·8 = 24. Полупериметр p = (6+8+10)/2 = 12.
Шаг 3: Радиус вписанной окружности r = S/p = 24/12 = 2.
Ответ: 2.
Как подготовиться к ЕГЭ по теме треугольники
Чтобы уверенно решать задачи на треугольники, нужно выучить все формулы и регулярно практиковаться. Начните с базовых задач на теорему синусов и косинусов, затем переходите к комбинированным. Обратите внимание на задачи, где требуется выразить одну величину через другую — это часто встречается в ЕГЭ.
Полезно вести конспект формул и разбирать ошибки. Если чувствуете, что некоторые темы западают, можно воспользоваться помощью AI-репетитора. Например, Наставник AI (nastavnik-ai.ru) предлагает персонализированные уроки с разбором задач голосом и пошаговыми подсказками. Это помогает глубже понять материал и закрепить навыки.
Не забывайте про геометрические построения: чертёж часто подсказывает ход решения. Тренируйтесь на заданиях из открытого банка ФИПИ и вариантах прошлых лет.
Частые вопросы
Без карты, без кредитки. Выбери персонажа — учи голосом, побеждай в баттлах.