Тела вращения на ЕГЭ: как сдать без репетитора за 995₽
Слушай, тема тел вращения на ЕГЭ — это не rocket science. Цилиндр, конус, шар: объём и площадь поверхности. Всё. Но почему-то именно на этих задачах многие теряют баллы. Потому что тупят на формулах или не видят, где применить шорткат.
Я тут собрал для тебя самое важное: что реально спрашивают, как сэкономить время, где подвох и как не слить баллы. А если лень разбираться самому — есть Наставник AI, который объяснит так, как ты сам выберешь: Витёк по-братски, Анна Сергеевна по-советски, Криштиану как на тренировке. И стоит копейки — 995 рублей в месяц за все предметы. Это дешевле, чем одна пицца.
Погнали.
Без карты, без кредитки. Выбери персонажа — учи голосом, побеждай в баттлах.
Что реально проверяют на ЕГЭ по теме «Тела вращения»
В КИМах ЕГЭ по математике (профиль) задачи на тела вращения встречаются в двух местах:
— Задание 8 (стереометрия): найти объём или площадь поверхности цилиндра, конуса, шара или их комбинации. Обычно даны радиус, высота, образующая. Нужно просто подставить в формулу, но с подвохом — например, даны не те величины, или фигура вписана/описана.
— Задание 14 (сложная стереометрия): тут уже может быть сечение, вписанный конус в цилиндр, шаровой слой и т.д. Но база та же: формулы объёма и площади.
По факту, если ты знаешь три формулы (цилиндр, конус, шар) и умеешь выражать одну величину через другую — половина задач решена. Остальное — внимательность и шорткаты.
Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен 25.
Шаг 1: Вспомни формулы: V_цил = πR²h, V_кон = (1/3)πR²h.
Шаг 2: Так как основание и высота общие, то V_цил = 3 * V_кон.
Шаг 3: V_цил = 3 * 25 = 75.
Ответ: 75.
Топ-3 шортката, которые экономят время на экзамене
1. Отношение объёмов: если фигуры подобны (например, конус и усечённый конус), объём меняется как куб коэффициента подобия. Не надо считать всё в лоб.
2. Площадь поверхности через развёртку: для цилиндра — прямоугольник, для конуса — сектор. Если дана развёртка, сразу видно, где радиус, где образующая.
3. Вписанные фигуры: если шар вписан в цилиндр, то высота цилиндра = 2R, и объём цилиндра = 2πR³. Запоминай такие связки.
Где обычно сливаются и как этого избежать
Самая частая ошибка — путают радиус и диаметр. В условии может быть дан диаметр, а ты подставляешь его как радиус. Вторая — забывают, что площадь поверхности цилиндра состоит из двух оснований и боковой поверхности. Третья — не учитывают, что образующая конуса не равна высоте.
Как избежать: на черновике всегда подписывай радиус, высоту, образующую. Проверяй размерность. И не ленись перепроверить подстановку.
Дана площадь боковой поверхности цилиндра 100π, высота 10. Найти объём.
Шаг 1: S_бок = 2πRh = 100π => 2πR*10 = 100π => 20πR = 100π => R = 5.
Шаг 2: V = πR²h = π*25*10 = 250π.
Ответ: 250π.
Конкретный пример разбора задачи уровня ЕГЭ
Разберём задачу из реального ЕГЭ (профиль, задание 8).
Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 78. Найдите площадь поверхности шара.
Шаг 1: Если шар вписан в цилиндр, то высота цилиндра равна диаметру шара: h = 2R, и радиус основания цилиндра равен радиусу шара: r = R.
Шаг 2: Площадь полной поверхности цилиндра: S_цил = 2πr² + 2πrh = 2πR² + 2πR*2R = 2πR² + 4πR² = 6πR² = 78.
Шаг 3: Отсюда πR² = 13.
Шаг 4: Площадь поверхности шара: S_шара = 4πR² = 4 * 13 = 52.
Ответ: 52.
Как с этим помогает Наставник AI
Ты выбираешь персонажа, который тебе ближе. Хочешь по-братски — ставь Витька. Он скажет: «Слышь, братан, тут всё просто: цилиндр — это как банка, конус — как колпак. Запомни формулы — и погнали». Хочешь строго и чётко — Анна Сергеевна: «Ученик, извольте выучить: объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту». Хочешь с драйвом — Криштиану: «Как Месси на тренировке: повторяй, пока не получится идеально».
Ты говоришь голосом задачу — он отвечает. Если не понял — он задаёт наводящие вопросы, не сливает ответ. Это сократовский метод: I-do, We-do, You-do. Сначала он показывает, потом делаете вместе, потом ты сам.
Плюс геймификация: XP, уровни, стрики. Можно баттлиться с другом — кто быстрее решит квиз по телам вращения. И всё это на телефоне, без установки.
Цена: 995₽ за месяц всех 12 предметов = одна пицца
Репетитор по математике стоит от 2000₽ за час. А Наставник AI — 995₽ в месяц за все 12 предметов (математика, русский, физика, химия, биология, история, обществознание, английский, информатика, география, литература). Это как одна пицца. Или два похода в кино.
При этом у тебя: 30 уроков в месяц, чат с наставником, тетрадь для конспектов, экспорт в PDF, баттлы с друзьями, дневные челленджи +50 XP. И скидка 50% на старте — фиксируется навсегда. То есть ты платишь 995, а не 1990.
Есть бесплатный тариф: 1 урок + баттлы. Можно попробовать без карты.
Частые вопросы
Без карты, без кредитки. Выбери персонажа — учи голосом, побеждай в баттлах.