Сложные события: сумма, произведение, условная вероятность, формула полной вероятности, схема Бернулли
Сложные события — одна из ключевых тем теории вероятностей, которая встречается в ЕГЭ по математике профильного уровня. В кодификаторе ФИПИ эта тема включает сумму и произведение событий, условную вероятность, формулу полной вероятности и схему Бернулли. Понимание этих концепций необходимо для решения задач как базового, так и повышенного уровня сложности.
Многие школьники путаются, когда события не являются независимыми или когда нужно применять формулу полной вероятности. На самом деле все эти правила логически вытекают из определений и простых принципов. В этой статье мы разберём каждый элемент темы на конкретных примерах, приближенных к реальным заданиям ЕГЭ.
Мы не будем углубляться в формальные аксиомы — сосредоточимся на практическом применении. Если вы готовитесь к экзамену, эти материалы помогут систематизировать знания и отработать навыки.
Без карты, без кредитки. Выбери персонажа — учи голосом, побеждай в баттлах.
Сумма и произведение событий: основные правила
Сумма событий A и B (обозначается A ∪ B) — это событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из них. Произведение событий A и B (A ∩ B) — событие, состоящее в том, что произошли оба одновременно.
Для вероятности суммы двух событий справедлива формула: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Если события несовместны (не могут произойти одновременно), то P(A ∩ B) = 0, и формула упрощается до P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Для произведения независимых событий: P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Если события зависимы, используется условная вероятность (см. следующий раздел).
Важно уметь различать, когда события совместны, а когда нет. Типичная ошибка — просто складывать вероятности, не проверяя, не пересекаются ли события.
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,3; во втором — 0,4; в обоих одновременно — 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном автомате.
Шаг 1: Определим события. Пусть A = «кофе закончился в первом автомате», B = «кофе закончился во втором». Нас интересует P(A ∪ B).
Шаг 2: По условию P(A)=0,3, P(B)=0,4, P(A∩B)=0,2.
Шаг 3: Применим формулу суммы: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) = 0,3 + 0,4 − 0,2 = 0,5.
Ответ: 0,5.
Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,1. Покупатель в магазине выбирает одну ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.
Шаг 1: Событие A = «ручка пишет плохо». P(A)=0,1.
Шаг 2: Событие «ручка пишет хорошо» противоположно событию A. Обозначим его как A̅.
Шаг 3: По правилу вероятности противоположного события: P(A̅) = 1 − P(A) = 1 − 0,1 = 0,9.
Ответ: 0,9.
Условная вероятность и её применение
Условная вероятность P(B|A) — это вероятность события B при условии, что событие A уже произошло. Формула: P(B|A) = P(A∩B) / P(A), при условии P(A) > 0.
Это понятие лежит в основе формулы произведения для зависимых событий: P(A∩B) = P(A) · P(B|A).
На ЕГЭ часто встречаются задачи, где нужно найти вероятность события при наличии некоторого условия. Например, вероятность того, что деталь изготовлена на первом заводе, если она бракованная.
В урне 5 белых и 4 черных шара. Из урны последовательно вынимают два шара без возвращения. Какова вероятность того, что оба шара белые?
Шаг 1: Событие A = «первый шар белый», событие B = «второй шар белый». Нам нужна P(A ∩ B).
Шаг 2: P(A) = 5/9 (всего 9 шаров, из них 5 белых).
Шаг 3: После того как вынули первый белый шар, осталось 8 шаров, из них 4 белых. Поэтому P(B|A) = 4/8 = 1/2.
Шаг 4: По формуле произведения: P(A∩B) = P(A)·P(B|A) = (5/9)·(1/2) = 5/18.
Ответ: 5/18.
Известно, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин дальтоники. На обследование пришел человек, оказавшийся дальтоником. Какова вероятность, что это мужчина? (Считаем, что количество мужчин и женщин одинаково.)
Шаг 1: Введем события. M = «человек — мужчина», Ж = «человек — женщина», D = «дальтоник». По условию P(M)=P(Ж)=0,5. P(D|M)=0,05, P(D|Ж)=0,0025.
Шаг 2: Нам нужна P(M|D). Используем формулу Байеса: P(M|D) = [P(M)·P(D|M)] / [P(M)·P(D|M) + P(Ж)·P(D|Ж)].
Шаг 3: Подставляем: числитель = 0,5·0,05 = 0,025; знаменатель = 0,5·0,05 + 0,5·0,0025 = 0,025 + 0,00125 = 0,02625.
Шаг 4: P(M|D) = 0,025 / 0,02625 ≈ 0,9524.
Ответ: примерно 0,952.
Формула полной вероятности: когда событие может произойти по разным причинам
Формула полной вероятности применяется, когда событие может произойти в результате одного из нескольких несовместных сценариев (гипотез). Если гипотезы H₁, H₂, …, Hₙ образуют полную группу (то есть сумма их вероятностей равна 1), то вероятность события A вычисляется как:
P(A) = Σ P(Hᵢ)·P(A|Hᵢ).
Это одна из самых полезных формул, особенно в задачах с двумя или более источниками, заводами, группами людей.
На фабрике керамической посуды 10% произведенных тарелок имеют дефект. При контроле качества 80% дефектных тарелок выявляется и изымается. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная тарелка, купленная в магазине, окажется без дефекта.
Шаг 1: Определим события. A = «тарелка без дефекта» (в итоге купленная). Но проще ввести гипотезы: H₁ = «тарелка без дефекта», H₂ = «тарелка с дефектом». P(H₁)=0,9, P(H₂)=0,1.
Шаг 2: Условные вероятности: P(A|H₁)=1 (тарелка без дефекта точно без дефекта). P(A|H₂)=? Дефектные тарелки выявляются и изымаются с вероятностью 0,8, значит, в продажу поступает 0,2 дефектных. То есть P(A|H₂)=0,2 (вероятность, что дефектная тарелка будет продана).
Шаг 3: По формуле полной вероятности: P(A) = 0,9·1 + 0,1·0,2 = 0,9 + 0,02 = 0,92.
Ответ: 0,92.
В группе 10 студентов, из них 4 отличника. На экзамене отличники отвечают на 5 вопросов из 5, остальные — только на 3 из 5. Студент ответил на все 5 вопросов. Какова вероятность, что он отличник?
Шаг 1: Гипотезы: H₁ = «студент отличник», H₂ = «студент не отличник». P(H₁)=0,4, P(H₂)=0,6.
Шаг 2: Событие A = «студент ответил на все 5 вопросов». P(A|H₁)=1 (отличник отвечает на все). P(A|H₂)=? Не отличник отвечает на 3 из 5, значит, вероятность ответить на все 5 равна 0? Нет, если он знает только 3, то не может ответить на все 5, поэтому P(A|H₂)=0. В реальности может быть, что он случайно угадал, но по условию — нет.
Шаг 3: По формуле Байеса (после того как событие произошло): P(H₁|A) = [P(H₁)·P(A|H₁)] / [P(H₁)·P(A|H₁) + P(H₂)·P(A|H₂)] = (0,4·1) / (0,4·1 + 0,6·0) = 0,4/0,4 = 1.
Ответ: 1 (стопроцентная вероятность, что он отличник).
Схема Бернулли: повторные независимые испытания
Схема Бернулли описывает последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны только два исхода: «успех» (с вероятностью p) и «неудача» (с вероятностью q = 1−p). Вероятность ровно k успехов в n испытаниях вычисляется по формуле:
Pₙ(k) = C(n, k) · pᵏ · qⁿ⁻ᵏ,
где C(n, k) — число сочетаний из n по k.
Эта формула часто используется в задачах про стрельбу, тесты, контроль качества.
Вероятность того, что новый пылесос прослужит больше года, равна 0,96. В магазине продаётся 5 пылесосов. Найдите вероятность того, что хотя бы три из них прослужат больше года.
Шаг 1: Испытание — каждый пылесос. Успех — прослужит больше года, p=0,96; неудача — q=0,04. n=5. Нужно P(хотя бы 3) = P(3) + P(4) + P(5).
Шаг 2: Вычислим каждую вероятность по Бернулли.
P(3) = C(5,3)·0,96³·0,04² = 10·0,884736·0,0016 ≈ 10·0,0014155776 = 0,014155776.
P(4) = C(5,4)·0,96⁴·0,04¹ = 5·0,84934656·0,04 = 5·0,0339738624 = 0,169869312.
P(5) = C(5,5)·0,96⁵·0,04⁰ = 1·0,8153726976·1 = 0,8153726976.
Шаг 3: Сумма: 0,014155776 + 0,169869312 + 0,8153726976 = 0,9993977856.
Ответ: примерно 0,9994.
Монету бросают 6 раз. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 2 раза.
Шаг 1: p = 0,5 (вероятность орла), q = 0,5, n=6, k=2.
Шаг 2: P₆(2) = C(6,2)·0,5²·0,5⁴ = 15·0,25·0,0625 = 15·0,015625 = 0,234375.
Ответ: 0,234375.
Как не запутаться: типичные ошибки и советы
Самая распространённая ошибка — путать совместные и несовместные события. Если события могут произойти одновременно, нельзя просто складывать вероятности — нужно вычитать пересечение.
Вторая ошибка — игнорировать зависимость событий. Когда выборка без возвращения, события зависимы, и нужно использовать условную вероятность.
Третья — неправильное применение формулы Бернулли. Убедитесь, что испытания независимы и вероятность успеха постоянна.
Чтобы избежать ошибок, всегда чётко определяйте события, записывайте, что дано, и выбирайте формулу. Полезно рисовать диаграммы Венна или деревья вероятностей.
Если чувствуете, что тема всё ещё вызывает трудности, попробуйте разобрать её с AI-репетитором. Например, в сервисе Наставник можно выбрать персонажа, который объяснит материал в удобном темпе, задаст наводящие вопросы и поможет отработать навыки на реальных задачах ЕГЭ.
Частые вопросы
Без карты, без кредитки. Выбери персонажа — учи голосом, побеждай в баттлах.