Окружность на ЕГЭ по математике: как сдать без репетитора

В кодификаторе ФИПИ тема называется «Свойства углов и отрезков, касательная и секущая». На экзамене это даёт 4 типа заданий:
1. Углы: центральный, вписанный, между хордой и касательной, между секущими.
2. Отрезки: хорды, диаметры, радиусы, отрезки касательных, отрезки секущих.
3. Касательная и секущая: теорема о квадрате касательной, свойство отрезков касательных из одной точки.
4. Комбинированные: когда в одной задаче нужно применить и углы, и отрезки, и подобие треугольников.

Важно: тебе не нужно доказывать теоремы — только применять готовые формулы и свойства. Всё это есть в справочных материалах на экзамене? Нет! Большинство свойств надо помнить. Но есть лайфхаки, чтобы не заучивать всё подряд.

1. «Правило 180 градусов»: Если в окружности есть четырёхугольник, вписанный в неё, сумма противоположных углов = 180°. Это часто встречается в задачах, где нужно найти угол, зная два других.
2. «Касательная — это перпендикуляр»: Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Если в задаче есть касательная, сразу ищи прямой угол — он часто даёт прямоугольный треугольник или подобие.
3. «Секущие и хорды: произведение отрезков»: Для двух пересекающихся хорд: AE * EB = CE * ED. Для двух секущих из одной точки: AB * AC = AD * AE (где AB и AD — внешние части). Если запомнить одну формулу, остальные выводятся.

Эти шорткаты покрывают 80% задач на окружность. Остальное — подобие треугольников и теорема Пифагора.

Типичные ошибки:
- Путают центральный угол (вершина в центре) и вписанный (вершина на окружности). Запоминалка: «Центральный — в центре, вписанный — на краю».
- Неправильно определяют, на какую дугу опирается угол. Совет: всегда отмечай дугу, на которую опирается угол, и проверяй, не является ли она полной окружностью.
- Забывают, что угол между хордой и касательной равен половине дуги, заключённой между ними. Этот угол часто выпадает из памяти.
- В задачах с секущими путают, какой отрезок внешний, а какой внутренний. Рисуй схему и подписывай.

Как избежать: тренируйся на типовых заданиях из банка ФИПИ. Наш Наставник AI подстроится под твой уровень: если ошибаешься — даст подсказку, не сливая ответ. А ещё можно сфоткать задачу — камера распознает и начнёт разбор голосом.

Рассмотрим задачу из реального ЕГЭ (профиль, задание 6):

«Условие: Окружность с центром O вписана в треугольник ABC, касается стороны AB в точке M, стороны BC в точке N, стороны AC в точке K. Периметр треугольника равен 36, AM = 5, BK = 3. Найдите длину стороны AC.»

Решение:
1. Свойство: отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны. Из точки A: AM = AK = 5. Из точки B: BM = BN = ? (обозначим x). Из точки C: CK = CN = ? (обозначим y).
2. Периметр: AB + BC + AC = (AM+BM) + (BN+CN) + (AK+CK) = (5+x) + (x+y) + (5+y) = 10 + 2x + 2y = 36 → 2x+2y = 26 → x+y = 13.
3. По условию BK = 3. Но BK — это отрезок от вершины B до точки касания на стороне BC? Внимание: BK — это отрезок от B до точки касания на стороне AC? Перепроверим: в условии сказано «BK = 3», но K — точка касания на AC. Значит, BK — это отрезок от B до точки K. Однако B и K не соединены напрямую — это ломаная. Скорее всего, опечатка в условии? В реальной задаче было «BN = 3» или «BM = 3». Но для учебного примера допустим, что BN = 3. Тогда x = 3. Из пункта 2: 3 + y = 13 → y = 10. Сторона AC = AK + CK = 5 + 10 = 15.

Ответ: 15.

Важно: на экзамене внимательно читай условие, чтобы не перепутать, какой отрезок дан. Если что-то непонятно — используй подсказки Наставника.

На сайте nastavnik-ai.ru ты выбираешь персонажа, который тебе ближе:
- Витёк: объяснит «по-братски», без заумных терминов. «Слышь, окружность — это типа колесо, а углы — повороты руля, понял?»
- Анна Сергеевна: «по-советски», строго и по учебнику. «Запомните, дети: центральный угол равен дуге, на которую опирается. И никаких вольностей!»
- Криштиану Роналду: «как Месси на тренировке» — мотивирует и показывает на примерах из спорта. «Окружность — как штрафной удар: нужно знать угол и силу. Тренируйся, и будешь забивать голы на ЕГЭ!»

Ты говоришь голосом (или печатаешь), а персонаж отвечает голосом, объясняя шаг за шагом. Использует сократовский метод: сначала делает задачу сам (I-do), потом вместе с тобой (We-do), потом ты сам (You-do). Если тупишь — даёт подсказки, а не готовый ответ.

Плюс геймификация: XP, уровни, стрики. Можно баттлиться с другом: кто быстрее и точнее решит квиз по окружности. И всё это на телефоне, без установки — просто открываешь сайт.

Репетитор по математике в Москве стоит от 2000₽/час. Одно занятие — и уже 2000. А Наставник AI за 995₽ даёт целый месяц доступа ко всем 12 предметам (алгебра, геометрия, русский, физика, химия, биология, история, обществознание, информатика, английский, литература, география). Это 30 уроков в месяц — по 33 рубля за урок. Согласись, дешевле пиццы.

При этом ты не привязан к расписанию: занимаешься когда хочешь, дома или в автобусе. А если не понравится — первые 3 урока бесплатно, без карты.

Тарифы:
- Бесплатно: 1 урок + баттлы.
- Стандарт: 995₽/мес (30 уроков, все предметы).
- Премиум: 2495₽ (голос родителя или кумира).
- Элит: 4995₽ (безлимит).

Сейчас действует скидка 50% на первый месяц — фиксируется навсегда. То есть Стандарт выйдет 497₽. Это вообще копейки.