Окружность: свойства углов и отрезков, касательная и секущая

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Его градусная мера равна мере дуги, на которую он опирается.

Вписанный угол — угол с вершиной на окружности, стороны которого пересекают окружность. Он равен половине дуги, на которую опирается (или половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу).

Следствия: вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны; вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой (90°).

Эти свойства часто используются в задачах на нахождение углов в окружности.

Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Свойства: перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам; равные хорды стягивают равные дуги; если две хорды пересекаются, то произведения отрезков каждой хорды равны.

Теорема о пересекающихся хордах: если хорды AB и CD пересекаются в точке O, то AO·OB = CO·OD.

Эта теорема часто применяется в задачах на нахождение длин отрезков.

Касательная — прямая, имеющая одну общую точку с окружностью. Свойство: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Секущая — прямая, пересекающая окружность в двух точках. Из одной внешней точки можно провести две касательные и одну секущую (или две секущие).

Теорема о касательной и секущей: если из одной точки проведены касательная и секущая, то квадрат длины отрезка касательной равен произведению отрезков секущей от внешней точки до точек пересечения с окружностью. То есть: AK² = AB·AC, где A — внешняя точка, K — точка касания, B и C — точки пересечения секущей с окружностью (AB — внешняя часть, AC — вся секущая).

Также для двух секущих: AB·AC = AD·AE, где A — внешняя точка, B и C — точки первой секущей, D и E — второй.

Эти теоремы — основа для задач на нахождение длин отрезков.

Угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания, равен половине дуги, заключённой между ними. Это свойство позволяет находить углы в конфигурациях с касательной.

Угол между двумя секущими, пересекающимися вне окружности, равен полуразности дуг, высекаемых секущими на окружности.

Угол между двумя хордами, пересекающимися внутри окружности, равен полусумме дуг, на которые он опирается, и дуги, заключённой между его сторонами.

Эти формулы полезны для задач второй части ЕГЭ.

Чтобы уверенно решать задачи на окружность, нужно выучить все свойства и теоремы, а также научиться их комбинировать. Начните с простых задач на центральные и вписанные углы, затем переходите к хордам, касательным и секущим.

Полезно решать задачи из открытого банка ФИПИ и разбирать решения. Обратите внимание на задачи второй части, где требуется проводить дополнительные построения и использовать несколько свойств.

Для системной подготовки можно использовать AI-репетитора, например, Наставника AI, который поможет разобрать тему с разных сторон, задаст наводящие вопросы и покажет, как применять теорию на практике.