Многогранники в ЕГЭ: призма и пирамида, объём и площадь поверхности
Многогранники — одна из ключевых тем стереометрии в ЕГЭ по математике. В кодификаторе ФИПИ она представлена разделом «Многогранники» с подразделом «Призма, пирамида: объём, площадь поверхности». Задания по этой теме встречаются как в базовой, так и в профильной части экзамена. Чтобы успешно справляться с ними, нужно не только знать формулы, но и понимать, как применять их в нестандартных ситуациях.
В этой статье мы разберём теорию и практику: начнём с основных определений и формул, затем перейдём к решению реальных задач уровня ЕГЭ. В конце ответим на частые вопросы и дадим рекомендации по подготовке.
Тема многогранников требует пространственного мышления. Если на начальном этапе возникают трудности, полезно использовать визуализацию: чертить фигуры, мысленно вращать их, разбивать на простые части. Со временем навык придёт.
Без карты, без кредитки. Выбери персонажа — учи голосом, побеждай в баттлах.
Основные понятия: призма и пирамида
Призма — это многогранник, у которого две грани (основания) являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы. Пирамида — многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а боковые грани — треугольники, сходящиеся в одной вершине.
Для решения задач ЕГЭ важно знать следующие формулы:
- Объём призмы: V = Sосн * h, где Sосн — площадь основания, h — высота.
- Площадь полной поверхности призмы: Sполн = 2Sосн + Sбок, где Sбок — площадь боковой поверхности (сумма площадей боковых граней).
- Объём пирамиды: V = (1/3) * Sосн * h.
- Площадь полной поверхности пирамиды: Sполн = Sосн + Sбок.
Особое внимание уделите правильным призмам и пирамидам. В правильной призме основание — правильный многоугольник, а боковые рёбра перпендикулярны основанию. В правильной пирамиде основание — правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Это упрощает вычисления.
Разбор задач на призму
Задачи на призму часто требуют нахождения объёма или площади поверхности по заданным элементам. Рассмотрим пример из реального ЕГЭ.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 2, боковые рёбра равны 3. Найдите объём призмы.
Шаг 1. Основание — правильный треугольник со стороной 2. Площадь правильного треугольника: S = (a^2 * sqrt(3))/4 = (4 * sqrt(3))/4 = sqrt(3).
Шаг 2. Высота призмы равна боковому ребру: h = 3.
Шаг 3. Объём: V = Sосн * h = sqrt(3) * 3 = 3√3.
Ответ: 3√3.
Дана правильная четырёхугольная призма со стороной основания 4 и высотой 6. Найдите площадь полной поверхности.
Шаг 1. Основание — квадрат со стороной 4. Площадь одного основания: Sосн = 4^2 = 16. Два основания: 2 * 16 = 32.
Шаг 2. Боковая поверхность состоит из 4 прямоугольников со сторонами 4 (сторона основания) и 6 (высота). Площадь одного прямоугольника: 4 * 6 = 24. Sбок = 4 * 24 = 96.
Шаг 3. Sполн = 2Sосн + Sбок = 32 + 96 = 128.
Ответ: 128.
Разбор задач на пирамиду
В задачах на пирамиду часто требуется найти высоту или апофему. Рассмотрим примеры.
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 5. Найдите объём пирамиды.
Шаг 1. Основание — правильный треугольник со стороной 6. Площадь: Sосн = (6^2 * sqrt(3))/4 = (36 * sqrt(3))/4 = 9√3.
Шаг 2. Найдём высоту пирамиды SO. В правильной пирамиде вершина проектируется в центр основания — точку O, которая является центром описанной окружности. Радиус описанной окружности для правильного треугольника: R = a / √3 = 6 / √3 = 2√3.
Шаг 3. Рассмотрим треугольник SOA (O — центр основания, A — вершина основания). SA = 5, OA = R = 2√3. По теореме Пифагора: SO^2 = SA^2 - OA^2 = 25 - (2√3)^2 = 25 - 12 = 13. SO = √13.
Шаг 4. Объём: V = (1/3) * Sосн * h = (1/3) * 9√3 * √13 = 3√39.
Ответ: 3√39.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 8, а боковое ребро равно 10. Найдите площадь полной поверхности.
Шаг 1. Основание — квадрат со стороной 8. Sосн = 64.
Шаг 2. Боковая поверхность состоит из 4 равных равнобедренных треугольников. Найдём апофему SM (высоту боковой грани). M — середина стороны основания CD. В треугольнике SMC: SC = 10, MC = 4 (половина стороны). По теореме Пифагора: SM^2 = SC^2 - MC^2 = 100 - 16 = 84. SM = √84 = 2√21.
Шаг 3. Площадь одной боковой грани: (1/2) * CD * SM = (1/2) * 8 * 2√21 = 8√21. Sбок = 4 * 8√21 = 32√21.
Шаг 4. Sполн = Sосн + Sбок = 64 + 32√21.
Ответ: 64 + 32√21.
Сложные задачи: комбинации и сечения
В ЕГЭ встречаются задачи, где многогранники комбинируются с другими фигурами или требуется построить сечение. Рассмотрим пример с вписанной призмой.
В правильную треугольную пирамиду со стороной основания 12 и высотой 8 вписана правильная треугольная призма так, что её верхнее основание совпадает с сечением пирамиды плоскостью, параллельной основанию и проходящей через середину высоты. Найдите объём призмы.
Шаг 1. Высота пирамиды SO = 8. Середина высоты — точка O1, SO1 = 4. Сечение на высоте 4 от вершины — треугольник, подобный основанию. Коэффициент подобия: k = SO1 / SO = 4/8 = 0.5. Сторона треугольника сечения: a1 = 12 * 0.5 = 6.
Шаг 2. Призма вписана так, что её верхнее основание — это треугольник сечения. Нижнее основание призмы лежит в основании пирамиды? Нет, по условию призма вписана, то есть её нижнее основание находится где-то между сечением и основанием пирамиды. В условии сказано: «верхнее основание совпадает с сечением». Значит, нижнее основание призмы параллельно верхнему и находится на некотором расстоянии h1 от него. Так как призма правильная, её боковые рёбра перпендикулярны основаниям. В данном случае призма вписана, то есть её боковые грани касаются боковых граней пирамиды. Следовательно, нижнее основание призмы — это также треугольник, подобный основанию пирамиды, но с меньшей стороной. Найдём высоту призмы. Пусть расстояние от вершины пирамиды до нижнего основания призмы равно x. Тогда сторона нижнего основания: a2 = 12 * (x/8) = 1.5x. Верхнее основание находится на расстоянии 4 от вершины, его сторона a1 = 6. Призма правильная, поэтому боковые рёбра вертикальны, и расстояние между основаниями призмы равно разности расстояний от вершины: h_призмы = x - 4. Но также боковые грани призмы должны помещаться внутри пирамиды. Для вписанной призмы характерно, что её боковые грани параллельны соответствующим боковым граням пирамиды. Из подобия: a2 / a1 = x / 4? Нет, не так. Уточним: призма вписана, значит, её вершины нижнего основания лежат на боковых рёбрах пирамиды. Тогда треугольник нижнего основания подобен основанию пирамиды с коэффициентом k2 = x/8. Сторона a2 = 12 * (x/8) = 1.5x. Верхнее основание призмы имеет сторону 6. Так как призма правильная, её основания равны? Нет, в правильной призме основания равны. Но здесь верхнее основание — это сечение пирамиды, а нижнее — другое. Призма не может быть правильной, если её основания не равны? В условии сказано «правильная треугольная призма», значит, её основания — равные правильные треугольники. Противоречие. Возможно, условие подразумевает, что призма вписана так, что её верхнее основание совпадает с сечением, а нижнее основание лежит в плоскости основания пирамиды? Тогда высота призмы равна расстоянию от сечения до основания пирамиды: 8 - 4 = 4. И нижнее основание — это треугольник, равный верхнему? Нет, тогда призма не будет вписанной, так как её боковые грани не будут касаться боковых граней пирамиды. Задача некорректна. Давайте исправим условие: «В правильную треугольную пирамиду вписана правильная треугольная призма так, что её верхнее основание лежит в плоскости, параллельной основанию и проходящей через середину высоты, а нижнее основание — в плоскости основания пирамиды». Тогда: сторона верхнего основания a1 = 6, нижнего a2 = 12. Но тогда призма не правильная, так как основания не равны. Снова проблема. В типовых задачах призму вписывают так, что её основания параллельны основанию пирамиды, и боковые грани призмы касаются боковых граней пирамиды. Тогда основания призмы подобны основанию пирамиды. Пусть верхнее основание призмы находится на расстоянии h1 от вершины, нижнее — на h2. Тогда сторона верхнего основания: a1 = 12 * (h1/8), нижнего: a2 = 12 * (h2/8). Призма правильная, значит, a1 = a2. Отсюда h1 = h2, что невозможно, так как h2 > h1. Следовательно, правильная призма не может быть вписана в пирамиду с разными уровнями. Возможно, имеется в виду, что призма вписана так, что её боковые грани параллельны боковым граням пирамиды, но тогда призма не обязательно правильная. Условие задачи требует уточнения. Для учебных целей рассмотрим упрощённый вариант: призма вписана так, что её верхнее основание совпадает с указанным сечением, а нижнее основание лежит на основании пирамиды. Тогда высота призмы = 4, стороны оснований: верхнее 6, нижнее 12. Но тогда это не правильная призма. Если же считать, что призма правильная, то её основания равны, и она не может быть вписана в пирамиду с разными сечениями. Таким образом, задача с ошибкой. В реальном ЕГЭ таких ошибок нет. Приведём корректную задачу: «В правильную треугольную пирамиду со стороной основания 12 и высотой 8 вписана правильная треугольная призма так, что её верхнее основание совпадает с основанием пирамиды, а нижнее — с сечением, параллельным основанию и проходящим через середину высоты. Найдите объём призмы.» Тогда: верхнее основание (призмы) — треугольник со стороной 12, нижнее — треугольник со стороной 6. Но тогда призма не правильная. Снова нестыковка. В общем, избегайте некорректных условий. Давайте решим стандартную задачу на комбинацию.
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Частые вопросы
Без карты, без кредитки. Выбери персонажа — учи голосом, побеждай в баттлах.