Классическая вероятность на ЕГЭ: как сдать без репетитора

Задание по классической вероятности — это всегда одна из двух схем:

1. Выбор нескольких объектов из набора (шары, карты, билеты). Нужно найти вероятность, что все выбранные обладают свойством. Тут формула: число благоприятных исходов делить на общее число исходов. Но исходы считаются комбинациями — сочетаниями или размещениями.

2. Независимые/зависимые события и их комбинации: «хотя бы один», «ровно один», «ни одного». Тут главный шорткат — использовать противоположное событие.

В 2024 году ФИПИ добавил задачи на «дерево вероятностей» — их тоже можно решить через формулу, но если нарисовать дерево, меньше шансов ошибиться.

Конкретные типы задач, которые могут попасться:
- Из 20 билетов 5 выигрышных. Какова вероятность, что из двух купленных билетов оба выигрышные? (классика)
- Вероятность, что чайник прослужит больше года — 0.96, а больше двух лет — 0.87. Найти вероятность, что он прослужит от 1 до 2 лет. (тут нужно вычесть)
- Стрелок стреляет 5 раз. Вероятность попадания 0.8. Найти вероятность, что он попадёт хотя бы один раз. (противоположное событие)

И да, на ЕГЭ могут дать задачу с монетками или кубиками — там просто считаешь количество исходов.

Шорткат 1: «Хотя бы один» — всегда считай через противоположное событие. Например, «хотя бы один раз попал» = 1 – «ни разу не попал». Это проще, чем считать вероятности 1 попадания, 2 попаданий и т.д.

Шорткат 2: Если в задаче есть слова «независимые события» или «с возвращением» — перемножай вероятности. Если «зависимые» или «без возвращения» — используй условную вероятность или комбинаторику.

Шорткат 3: Для задач на «ровно один из двух» (например, один баскетболист попал, другой нет) — формула: P(A)*P(не B) + P(не A)*P(B). Но если события независимы, можно просто перемножить и сложить два варианта.

Ошибка 1: Путают «хотя бы один» и «ровно один». В первом случае подходят все варианты, где есть хотя бы одно событие. Во втором — только когда произошло ровно одно. Проверяй условие.

Ошибка 2: Не учитывают, что события могут быть зависимыми. Пример: из колоды вытягивают две карты без возвращения. Вероятность вытянуть два туза — не (4/36)*(4/36), а (4/36)*(3/35). Если написано «без возвращения» — количество благоприятных и общее число уменьшается.

Ошибка 3: Считают комбинации неправильно. Когда порядок не важен (выбрали два билета) — используй сочетания, а не размещения. Формула: C(n,k) = n!/(k!(n-k)!).

Как не слиться: всегда выписывай событие словами, определи, это «и» или «или». «И» — умножай вероятности (если независимы), «или» — складывай (если несовместны). И рисуй дерево вероятностей, если сомневаешься.

Разберём задачу, которая реально была на ЕГЭ (адаптировано):

«В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.»

Решение:
1. Событие «хотя бы один исправен» противоположно событию «оба неисправны».
2. Вероятность, что конкретный автомат неисправен = 0,05. Так как независимы, вероятность обоих неисправностей = 0,05 * 0,05 = 0,0025.
3. Тогда искомая вероятность = 1 - 0,0025 = 0,9975.

Шорткат: сразу считай через противоположное событие.

Ещё пример: «Из 20 билетов 5 выигрышных. Наугад берут 2 билета. Какова вероятность, что оба выигрышные?»

Решение:
Общее число исходов — число способов выбрать 2 билета из 20: C(20,2) = 190.
Благоприятные — выбрать 2 выигрышных из 5: C(5,2) = 10.
Вероятность = 10/190 = 1/19 ≈ 0,0526.

Вот и всё. Главное — не забудь, что порядок не важен, поэтому сочетания.

Допустим, ты открыл задачу, а она не решается. Или просто лень читать теорию. Заходишь в Nastavnik AI, выбираешь персонажа:

- Витёк: «Слыш, братан, тут всё просто. Смотри: у тебя два автомата. Шанс, что оба накроются — 0.05 * 0.05 = 0.0025. Значит, шанс, что хотя бы один пашет — 1 минус это, понял?» Голосом, с интонацией.

- Анна Сергеевна: «Итак, запишем условие. Вероятность неисправности каждого 0,05. Поскольку события независимы, вероятность одновременной неисправности равна произведению. Вычитаем из единицы — получаем 0,9975. Молодец, садись, пять.» Сухо, но чётко.

- Криштиану: «Как Месси на тренировке: нужно просто сделать правильное движение. Противоположное событие — твой гол. 1 минус 0.0025 = 0.9975. Ты лучший.»

Ты говоришь голосом — он отвечает. Можно отправить фото задачи — он разберёт её по шагам. И никаких «подумай сам» — он реально объясняет, но не даёт готовый ответ сразу, а подводит к нему (сократовский метод).

А ещё есть баттлы: кидаешь другу ссылку, кто быстрее и точнее решит квиз по вероятности — побеждает. И XP, уровни, ачивки — как в игре.

Репетитор по математике в Москве — от 2000 рублей за час. За месяц это 8-12 тысяч минимум. А Наставник AI стоит 995 рублей за месяц — это одна пицца. И ты получаешь не только математику, а все 12 предметов: русский, физику, химию, историю, обществознание, английский и т.д.

Причём на старте скидка 50% — фиксируется навсегда. То есть ты платишь 995, а не 1990. И три пробных урока бесплатно — без карты.

Сравни: одно занятие с репом — 2000. У нас целый месяц за 995. И ты можешь заниматься когда хочешь, с телефона, без расписания. А если что-то непонятно — просто говоришь голосом, и тебе объясняет Витёк или Роналду.