Исследование функций на ЕГЭ: как сдать без репетитора и не слиться

В задании 11 (базовый уровень) просят найти точку максимума или минимума функции. В задании 12 (повышенный) — наибольшее или наименьшее значение на отрезке. По сути, это одно и то же: берёшь производную, приравниваешь к нулю, находишь критические точки, проверяешь знаки производной. Если отрезок дан — подставляешь концы и критические точки, выбираешь нужное.

Типичные подставы: забыть проверить, входит ли точка в область определения (особенно с корнями и дробями), перепутать максимум и минимум, неправильно посчитать производную сложной функции. Но если набить руку на 10 примерах — ошибок не будет.

1. Если функция — квадратный трёхчлен, экстремум в вершине: x = -b/(2a). Не надо брать производную — сразу точка.
2. На отрезке наибольшее/наименьшее значение часто на концах. Если производная не меняет знак (функция монотонна), то экстремум на границах.
3. Для дробно-рациональных функций: производная равна нулю, когда числитель производной равен нулю, а знаменатель не ноль. Не забудь выколоть точки, где знаменатель исходной функции в ноль.

Самая частая ошибка — не учитывают область определения. Например, в функции с корнем или логарифмом. Если ты нашёл критическую точку, а она не входит в ОДЗ — выкидывай. Вторая ошибка — путают максимум и минимум. Запомни: если производная меняет знак с + на - — максимум, с - на + — минимум. Третья — забывают подставить концы отрезка. Если отрезок дан, всегда проверяй оба конца, даже если внутри есть экстремум.

Как избежать: всегда начинай с ОДЗ. Потом производная, критические точки, отбор по ОДЗ. Потом таблица знаков производной. И только потом ответ. Не торопись — лучше потратить лишнюю минуту, чем потерять балл.

Разберём задание 12: Найдите наибольшее значение функции y = x^3 - 3x^2 + 2 на отрезке [-1; 3].

Шаг 1: Производная. y' = 3x^2 - 6x = 3x(x-2).
Шаг 2: Критические точки. 3x(x-2)=0 => x=0, x=2. Обе входят в отрезок.
Шаг 3: Значения функции в критических точках и на концах отрезка:
y(-1) = (-1)^3 - 3*(-1)^2 + 2 = -1 - 3 + 2 = -2
y(0) = 0 - 0 + 2 = 2
y(2) = 8 - 12 + 2 = -2
y(3) = 27 - 27 + 2 = 2
Шаг 4: Наибольшее значение = 2 (достигается в x=0 и x=3).

Всё. Без воды. Если бы не было отрезка, искали бы экстремумы: x=0 — максимум (производная + -), x=2 — минимум.

Наставник AI — это не просто сайт с уроками. Ты выбираешь персонажа, который тебе заходит: Витёк объяснит «по-братски», без заумных терминов, Анна Сергеевна — строго по учебнику, но с душой, Криштиану Роналду — как на тренировке: «Ты хочешь быть лучшим? Тогда делай производную!». Голосом. Ты говоришь голосом — он отвечает. Если не понял — он задаёт наводящие вопросы, а не сливает ответ (сократовский метод).

Ещё можно сфоткать задачу — он разберёт её голосом. Или вызвать друга на баттл: кто быстрее и точнее решит квиз по теме. Зарабатываешь XP, открываешь ачивки, соревнуешься в лидерборде. Всё в телефоне, без привязки к репетитору.

Цена: 995 рублей в месяц за все 12 предметов. Это как одна пицца. А репетитор берёт 2000 за час. Разница ощутима. И первый урок бесплатно, без карты.

Репетитор по математике в Москве — от 2000 рублей за час. Два занятия в неделю — 16 000 в месяц. А Наставник AI — 995 рублей за месяц доступа ко всем 12 предметам. Это в 16 раз дешевле. И ты не ограничен по времени: можешь заниматься хоть каждый день, хоть ночью. Плюс баттлы, тетрадь, экспорт в PDF, отчёты для родителей. А если оформишь сейчас — скидка 50% навсегда.

Бесплатный тариф тоже есть: один урок и баттлы. Но чтобы прокачаться по всей теме, лучше взять Стандарт. А если хочешь, чтобы Наставник говорил голосом твоего кумира или родителя — Премиум за 2495.