Позиционные системы счисления в ЕГЭ: теория и разбор задач
Позиционные системы счисления — одна из базовых тем кодификатора ЕГЭ по информатике. Она встречается как в заданиях на перевод чисел, так и в задачах на арифметику и кодирование информации. Понимание принципов позиционной записи числа позволяет не только решать типовые примеры, но и справляться с нестандартными формулировками.
В данной статье мы систематизируем знания по двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системам, разберём алгоритмы перевода целых и дробных чисел, а также выполним арифметические операции. Каждый раздел содержит примеры уровня ЕГЭ с полным решением. Материал подойдёт для самостоятельной подготовки или работы с репетитором.
Без карты, без кредитки. Выбери персонажа — учи голосом, побеждай в баттлах.
Основы позиционных систем счисления
Любая позиционная система счисления характеризуется основанием — количеством цифр, используемых для записи чисел. В десятичной системе основание 10, цифры от 0 до 9. В двоичной — основание 2, цифры 0 и 1. В восьмеричной — основание 8, цифры от 0 до 7. В шестнадцатеричной — основание 16, цифры от 0 до 9 и буквы A, B, C, D, E, F (соответствуют числам 10, 11, 12, 13, 14, 15).
Каждая позиция цифры в числе — это степень основания. Например, число 123 в десятичной системе означает: 1×10² + 2×10¹ + 3×10⁰. Аналогично, число 101₂ в двоичной системе: 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 5₁₀. Понимание этого принципа — ключ к переводу чисел.
Запишите число 2A3₁₆ в десятичной системе счисления.
Шаг 1. Вспомним, что A₁₆ = 10₁₀.
Шаг 2. Развернём число по степеням основания 16: 2×16² + 10×16¹ + 3×16⁰.
Шаг 3. Вычислим: 2×256 = 512, 10×16 = 160, 3×1 = 3. Сумма: 512 + 160 + 3 = 675.
Ответ: 675₁₀.
Перевод целых чисел между системами счисления
Перевод из десятичной системы в любую другую выполняется последовательным делением на основание новой системы с записью остатков от деления в обратном порядке. Перевод из двоичной, восьмеричной или шестнадцатеричной в десятичную — через развёрнутую форму. Для перевода между двоичной и восьмеричной/шестнадцатеричной удобно использовать группировку: каждые три двоичных разряда образуют одну восьмеричную цифру, каждые четыре — одну шестнадцатеричную.
Рассмотрим примеры, которые часто встречаются на ЕГЭ.
Переведите число 173₁₀ в двоичную систему счисления.
Шаг 1. Делим 173 на 2: 173 ÷ 2 = 86 (остаток 1).
Шаг 2. 86 ÷ 2 = 43 (остаток 0).
Шаг 3. 43 ÷ 2 = 21 (остаток 1).
Шаг 4. 21 ÷ 2 = 10 (остаток 1).
Шаг 5. 10 ÷ 2 = 5 (остаток 0).
Шаг 6. 5 ÷ 2 = 2 (остаток 1).
Шаг 7. 2 ÷ 2 = 1 (остаток 0).
Шаг 8. 1 ÷ 2 = 0 (остаток 1).
Шаг 9. Записываем остатки снизу вверх: 10101101₂.
Ответ: 173₁₀ = 10101101₂.
Переведите число 1101011₂ в восьмеричную систему счисления.
Шаг 1. Разбиваем двоичное число на группы по 3 разряда справа налево: 1 101 011 (дополняем слева нулями до трёх цифр: 001 101 011).
Шаг 2. Каждую группу переводим в восьмеричную цифру: 001₂ = 1₈, 101₂ = 5₈, 011₂ = 3₈.
Шаг 3. Записываем результат: 153₈.
Ответ: 1101011₂ = 153₈.
Перевод дробных чисел
Перевод дробной части из десятичной системы в другую производится последовательным умножением на основание новой системы с выделением целой части. Из недесятичной системы в десятичную дробь переводится через развёрнутую форму с отрицательными степенями основания. Важно помнить, что не всякая десятичная дробь имеет конечное представление в другой системе (например, 0.1₁₀ в двоичной — бесконечная периодическая дробь). На ЕГЭ обычно дают дроби, которые переводятся точно.
Разберём типовой пример.
Переведите число 0.375₁₀ в двоичную систему счисления.
Шаг 1. Умножаем дробную часть на 2: 0.375 × 2 = 0.75 (целая часть 0).
Шаг 2. 0.75 × 2 = 1.5 (целая часть 1).
Шаг 3. 0.5 × 2 = 1.0 (целая часть 1).
Шаг 4. Дробная часть стала 0, процесс закончен. Записываем целые части в порядке получения: 0.011₂.
Ответ: 0.375₁₀ = 0.011₂.
Арифметика в разных системах счисления
Сложение, вычитание, умножение и деление в системах счисления выполняются по тем же правилам, что и в десятичной, но с учётом основания. При сложении, если сумма цифр в разряде достигает или превышает основание, происходит перенос в старший разряд. Аналогично при вычитании — заём из старшего разряда. На ЕГЭ часто встречаются задачи на сложение и вычитание в двоичной и шестнадцатеричной системах.
Рассмотрим пример сложения в двоичной системе.
Выполните сложение: 1011₂ + 1101₂.
Шаг 1. Записываем числа столбиком, выравнивая по младшему разряду:
1011
+ 1101
Шаг 2. Складываем поразрядно справа налево:
- 1 + 1 = 0, перенос 1
- 1 + 0 + перенос 1 = 0, перенос 1
- 0 + 1 + перенос 1 = 0, перенос 1
- 1 + 1 + перенос 1 = 1, перенос 1
Шаг 3. Записываем результат: 11000₂.
Ответ: 1011₂ + 1101₂ = 11000₂.
Вычислите: 2F₁₆ + 1A₁₆.
Шаг 1. Записываем столбиком:
2F
+ 1A
Шаг 2. Складываем: F₁₆ + A₁₆ = 15₁₀ + 10₁₀ = 25₁₀. 25₁₀ = 19₁₆, пишем 9, перенос 1.
Шаг 3. 2 + 1 + перенос 1 = 4₁₆.
Шаг 4. Результат: 49₁₆.
Ответ: 2F₁₆ + 1A₁₆ = 49₁₆.
Задачи ЕГЭ на системы счисления: разбор сложных случаев
В ЕГЭ встречаются задачи, где нужно не просто перевести число, а найти основание системы или выполнить несколько операций. Например, определить основание системы, в которой записано число, или найти количество значащих нулей в двоичной записи. Также популярны задания на сравнение чисел, записанных в разных системах.
Приведём пример задачи с определением основания системы.
В некоторой системе счисления число 58 записывается как 112. Найдите основание этой системы.
Шаг 1. Пусть основание равно p. Тогда 112ₚ = 1·p² + 1·p¹ + 2·p⁰ = p² + p + 2.
Шаг 2. Приравниваем к десятичному значению: p² + p + 2 = 58.
Шаг 3. Решаем квадратное уравнение: p² + p - 56 = 0. Дискриминант: 1 + 224 = 225, корень √225 = 15. Положительный корень: p = (-1 + 15)/2 = 7.
Шаг 4. Проверяем: 112₇ = 1·49 + 1·7 + 2 = 49+7+2 = 58. Верно.
Ответ: основание системы 7.
Частые вопросы
Без карты, без кредитки. Выбери персонажа — учи голосом, побеждай в баттлах.