Законы сохранения в механике — полный разбор для ЕГЭ 2025
Законы сохранения — фундамент механики. Они позволяют решать задачи, не вдаваясь в подробности сил и ускорений. В ЕГЭ по физике задания на импульс, работу, мощность и энергию встречаются в первой и второй части. Без уверенного владения этой темой получить высокий балл практически невозможно.
В этом разборе мы последовательно пройдёмся по каждому понятию: от определения импульса до сложных задач на совместное применение законов сохранения. Вы узнаете, какие типичные ошибки допускают ученики и как их избежать.
Материал построен на реальных задачах из ЕГЭ прошлых лет и кодификатора ФИПИ. Если в процессе возникнут вопросы, вы всегда можете обратиться к AI-репетитору — например, Наставник поможет разобрать сложный шаг голосом персонажа.
Без карты, без кредитки. Выбери персонажа — учи голосом, побеждай в баттлах.
Импульс тела и закон сохранения импульса
Импульсом тела называют векторную величину, равную произведению массы тела на его скорость: p = mv. Важно понимать, что импульс — вектор, поэтому при сложении импульсов в системе нужно учитывать направление.
Закон сохранения импульса: в замкнутой системе (где нет внешних сил) суммарный импульс тел остаётся постоянным. Это справедливо и для проекций на оси. На ЕГЭ часто используют этот закон при анализе столкновений, взрывов, отдачи.
Особое внимание уделите неупругим ударам: после такого удара тела движутся вместе. Например, пуля застревает в бруске — импульс системы сохраняется, но часть механической энергии переходит во внутреннюю (нагревание).
Снаряд массой 20 кг, летящий горизонтально со скоростью 500 м/с, попадает в неподвижную платформу с песком массой 10 т и застревает в ней. С какой скоростью начнёт двигаться платформа?
Дано: m1 = 20 кг, v1 = 500 м/с, m2 = 10000 кг, v2 = 0. Найти v.
Система замкнута по горизонтали (трением пренебрегаем). Закон сохранения импульса: m1*v1 + m2*v2 = (m1+m2)*v.
Подставляем: 20*500 + 10000*0 = (20+10000)*v => 10000 = 10020*v => v ≈ 0,998 м/с.
Ответ: ≈ 1,0 м/с.
Два шара массами 2 кг и 3 кг движутся навстречу друг другу со скоростями 4 м/с и 2 м/с соответственно. Происходит абсолютно неупругий удар. Найдите скорость шаров после удара.
Дано: m1=2 кг, v1=4 м/с; m2=3 кг, v2=-2 м/с (противоположное направление). Найти v.
Закон сохранения импульса: m1*v1 + m2*v2 = (m1+m2)*v => 2*4 + 3*(-2) = 5*v => 8 - 6 = 2 = 5*v => v = 0,4 м/с.
Ответ: 0,4 м/с в сторону движения первого шара.
Работа и мощность в механике
Механическая работа совершается, когда сила перемещает тело. Формула: A = F·s·cosα, где α — угол между силой и перемещением. Если сила направлена противоположно движению, работа отрицательна (например, сила трения).
Мощность — скорость совершения работы: P = A/t или P = F·v·cosα для постоянной силы. В ЕГЭ часто встречаются задачи на расчёт работы силы тяжести, силы упругости, силы трения.
Типичная ловушка: работа силы тяжести не зависит от траектории, а только от изменения высоты. Работа силы упругости равна изменению потенциальной энергии деформированной пружины.
Тело массой 5 кг поднимают на высоту 10 м по наклонной плоскости с углом 30° к горизонту. Коэффициент трения 0,2. Какую работу совершает сила тяги, если тело движется равномерно?
Дано: m=5 кг, h=10 м, α=30°, μ=0,2. Найти A_тяги.
При равномерном движении сила тяги равна сумме проекций силы тяжести и силы трения на направление движения: F_тяги = mg sinα + μ mg cosα.
Путь по наклонной: s = h/sinα = 10/0,5 = 20 м.
Работа: A = F_тяги·s = (mg sinα + μ mg cosα)·s = mg (sinα + μ cosα)·s.
Подставляем: 5*10*(0,5 + 0,2*√3/2)*20 ≈ 50*(0,5+0,173)*20 = 50*0,673*20 = 673 Дж.
Ответ: ≈ 673 Дж.
Энергия: кинетическая и потенциальная. Закон сохранения энергии
Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно: E_к = mv²/2. Потенциальная энергия в поле тяжести: E_п = mgh (относительно выбранного нулевого уровня). Потенциальная энергия упруго деформированной пружины: E_п = kx²/2.
Закон сохранения механической энергии: если в системе действуют только консервативные силы (силы тяжести, упругости), полная механическая энергия остаётся постоянной. Если есть неконсервативные силы (трение), полная энергия убывает, переходя во внутреннюю.
На ЕГЭ важно уметь записывать уравнение энергетического баланса: E_кин1 + E_пот1 = E_кин2 + E_пот2 + A_тр (если трение есть).
Камень массой 0,5 кг брошен вертикально вверх со скоростью 20 м/с. На какой высоте его кинетическая энергия будет равна потенциальной? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Дано: m=0,5 кг, v0=20 м/с, g=10 м/с². Найти h, при котором E_к = E_п.
Полная энергия в начальный момент: E_полн = mv0²/2 = 0,5*400/2 = 100 Дж.
В искомой точке: E_к = E_п = E_полн/2 = 50 Дж.
Потенциальная энергия: mgh = 50 => h = 50/(0,5*10) = 10 м.
Проверка: кинетическая энергия на этой высоте: mv²/2 = 50 Дж => v² = 200 => v ≈ 14,14 м/с. По закону сохранения: mv0²/2 = mgh + mv²/2 => 100 = 50+50 — верно.
Ответ: 10 м.
Пуля массой 10 г, летящая со скоростью 400 м/с, попадает в деревянный брусок массой 1 кг, лежащий на гладкой поверхности, и застревает в нём. Какое количество теплоты выделится при ударе?
Дано: m1=0,01 кг, v1=400 м/с, m2=1 кг, v2=0. Найти Q.
Сначала неупругий удар: закон сохранения импульса: m1*v1 = (m1+m2)*u => u = 0,01*400/1,01 ≈ 3,96 м/с.
Начальная кинетическая энергия: E_к1 = m1*v1²/2 = 0,01*160000/2 = 800 Дж.
Конечная кинетическая энергия: E_к2 = (m1+m2)*u²/2 = 1,01*(3,96²)/2 ≈ 1,01*15,68/2 ≈ 7,92 Дж.
По закону сохранения энергии: E_к1 = E_к2 + Q => Q = 800 - 7,92 ≈ 792 Дж.
Ответ: ≈ 792 Дж.
Совместное применение законов сохранения: сложные задачи ЕГЭ
В задачах второй части ЕГЭ часто требуется применить и закон сохранения импульса, и закон сохранения энергии. Например, задачи с маятником, когда пуля попадает в подвешенный груз, или задачи с пружинами и столкновениями.
Алгоритм: сначала определить, какие силы действуют. Если внешние силы отсутствуют или их работа равна нулю (как сила реакции опоры при движении по горизонтали), то сохраняется импульс. Если нет трения и неупругих деформаций, сохраняется механическая энергия. Если есть неупругий удар — импульс сохраняется, а механическая энергия — нет.
Рассмотрим классическую задачу: пуля попадает в подвешенный шар. Сначала применяем ЗСИ для неупругого удара, затем ЗСЭ для движения шара с пулей внутри после удара.
Пуля массой 10 г, летящая горизонтально со скоростью 300 м/с, попадает в деревянный шар массой 1 кг, подвешенный на невесомой нерастяжимой нити длиной 2 м, и застревает в нём. На какой максимальный угол от вертикали отклонится шар?
Дано: m=0,01 кг, v=300 м/с, M=1 кг, L=2 м, g=10 м/с². Найти α.
1. Неупругий удар: ЗСИ: mv = (m+M)u => u = mv/(m+M) = 0,01*300/1,01 ≈ 2,97 м/с.
2. После удара шар с пулей движется как маятник. ЗСЭ: (m+M)u²/2 = (m+M)gL(1-cosα).
Сокращаем массу: u²/2 = gL(1-cosα) => 1-cosα = u²/(2gL) = (2,97²)/(2*10*2) = 8,82/40 = 0,2205.
cosα = 1 - 0,2205 = 0,7795 => α ≈ arccos(0,7795) ≈ 38,7°.
Ответ: ≈ 39°.
Типичные ошибки и как их избежать
Самая частая ошибка — путаница между импульсом и энергией. Запомните: импульс — вектор, энергия — скаляр. При неупругом ударе импульс сохраняется, а кинетическая энергия — нет.
Вторая ошибка: неправильный выбор нулевого уровня потенциальной энергии. Выбирайте его так, чтобы минимизировать расчёты. Для задач с высотой удобно брать нуль в нижней точке траектории.
Третья: забывают про работу силы трения. Если в задаче есть шероховатая поверхность, обязательно учитывайте потери энергии на трение.
Четвёртая: неверное направление импульсов. Всегда рисуйте оси и записывайте проекции с учётом знаков.
Пятая: невнимательное чтение условия. Например, если сказано «абсолютно упругий удар», то сохраняются и импульс, и кинетическая энергия; если «неупругий» — только импульс.
Частые вопросы
Без карты, без кредитки. Выбери персонажа — учи голосом, побеждай в баттлах.